Постоянная КапрекараПостоянная Капрекара — число, равное 6174. Функция КапрекараЧисло 6174 имеет следующую особенность[1]. Выберем любое четырёхзначное число n, больше 1000, в котором не все цифры одинаковы (всюду предполагается использование десятичной системы счисления, если не оговорено иное). Расположим цифры сначала в порядке возрастания, затем в порядке убывания. Вычтем из большего меньшее. Производя перестановки цифр и вычитания, нули следует сохранять. Описанное действие назовём функцией Капрекара K(n). Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя. Это свойство числа 6174 было открыто в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром, в честь которого оно и получило своё название. ПримерыДля числа 3412:
Для числа 1100:
Для числа 7641:
Другие свойства6174 — число харшад[2], поскольку оно делится на сумму своих цифр:
6174 — практичное число, так как любое число, меньшее 6174, можно представить в виде суммы разных делителей числа 6174[2][3]. Ближайшие числа с этим свойством — 6160, 6162, 6180, 6188[3][4]. Кроме того, 6174 — число Цумкеллера (англ. Zumkeller number), так как множество делителей числа 6174 можно разбить на два подмножества с равными суммами (7800)[2][5]. Не существует натурального числа, при делении которого на сумму его цифр получается 6174[2][6]. Ближайшие числа с этим свойством — 6123, 6150, 6185, 6189[7]. Число 6174 представимо в виде суммы трёх первых натуральных степеней числа 18[8]:
Сумма квадратов простых множителей числа 6174 — точный квадрат[9]:
ОбобщенияДля трёхзначных чисел аналог постоянной Капрекара число 495 (процедура сходится к нему максимум через шесть итераций для любого трёхзначного числа без повторяющихся цифр). Для чисел с бо́льшим, чем 4, числом знаков, преобразование Капрекара в большинстве случаев рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел, но не к неподвижной точке n = K(n). Имеется два шестизначных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549 945 и 631 764). Для двух-, пяти- и семизначных чисел неподвижных точек преобразования Капрекара не существует. Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой n = K(n).[источник не указан 2818 дней] Сама постоянная Капрекара тоже является числом этого вида. Однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде. Примечания
Литература
См. такжеСсылки
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
