Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ множество ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)}$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

${\displaystyle (g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f}$

${\displaystyle g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}}$

Предаддитивную категорию иногда называют также ${\displaystyle Ab}$-категорией^[1].

• Категория абелевых групп ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$.
• Категории левых R-модулей ${\displaystyle R{\mbox{-}}\mathbf {Mod} }$ и правых ${\displaystyle R}$-модулей ${\displaystyle \mathbf {Mod} {\mbox{-}}R}$.
• Любое кольцо, рассматриваемое как категория с одним объектом.

Функтор ${\displaystyle T\colon A\to B}$ называется аддитивным, если каждое отображение ${\displaystyle T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})}$ является гомоморфизмом абелевых групп.

Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — категории, причём ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ предаддитивна, то категория функторов ${\displaystyle Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ тоже предаддитивна, то категория ${\displaystyle Add({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ предаддитивна, то категория ${\displaystyle Mod({\mathcal {C}}):=Add({\mathcal {C}},\mathbf {Ab} )}$ называется категорией модулей над ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — предаддитивная категория из одного объекта — кольца ${\displaystyle R}$, это приводит к обычному определению (левых) ${\displaystyle R}$-модулей.

${\displaystyle Ab{\mbox{-}}\mathbf {Cat} }$ — категория всех малых ${\displaystyle Ab}$-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.