Предельная точка

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Точка ${\displaystyle x}$ называется предельной точкой подмножества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, если всякая проколотая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ непустое пересечение.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой накопления подмножества ${\displaystyle A}$, если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ бесконечное число общих точек. Для T₁-пространств (то есть пространств, у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты), понятия предельная точка и точка накопления равносильны.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой конденсации подмножества ${\displaystyle A}$, если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ содержит несчётное множество точек ${\displaystyle A}$.

Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой полного накопления подмножества ${\displaystyle A}$, если для всякой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ мощность пересечения ${\displaystyle U\cap A}$ равна мощности множества ${\displaystyle A}$.

• Точка ${\displaystyle x}$ называется точкой прикосновения подмножества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, если всякая окрестность точки ${\displaystyle x}$ имеет с ${\displaystyle A}$ непустое пересечение. Множество всех точек прикосновения множества ${\displaystyle A}$ составляет его замыкание ${\displaystyle {\bar {A}}}$.

• Изолированной называется такая точка ${\displaystyle x\in A}$, у которой есть окрестность, не имеющая с ${\displaystyle A}$ других общих точек, кроме ${\displaystyle x}$. Подмножество в ${\displaystyle A}$, состоящее из одной этой точки, является открытым в ${\displaystyle A}$ (в индуцированной топологии).

• Таким образом, все точки прикосновения любого множества ${\displaystyle A\subset X}$ (то есть точки замыкания ${\displaystyle {\bar {A}}}$) делятся на два вида: предельные и изолированные точки ${\displaystyle A}$. Вторые составляют подмножество ${\displaystyle A}$, первые же могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

• Совокупность всех предельных точек множества ${\displaystyle A}$ называется его произво́дным мно́жеством и обозначается ${\displaystyle A'}$. Все предельные точки множества входят в его замыкание ${\displaystyle {\bar {A}}}$. Более того, справедливо равенство: ${\displaystyle {\bar {A}}=A\cup A'}$, из которого легко получается следующий критерий замкнутости подмножеств: Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

• Если ${\displaystyle x}$ — предельная точка множества ${\displaystyle A}$, то существует направление точек из ${\displaystyle A}$, сходящееся к ${\displaystyle x}$.

• В метрических пространствах, если ${\displaystyle x}$ — предельная точка множества ${\displaystyle A}$, то существует последовательность точек из ${\displaystyle A}$ сходящаяся к ${\displaystyle x}$. Топологические пространства, для которых выполняется это свойство, называются пространствами Фреше — Урысона.
• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в ${\displaystyle X}$.

• Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ счётно компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну строгую предельную точку в ${\displaystyle X}$. Всякий компакт счётно компактен. Для метрических пространств верно и обратное (критерий компактности метрического пространства): метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно счётно компактно.

(В частности, поскольку отрезок прямой компактен, то он счётно компактен. Следовательно, всякое бесконечное ограниченное подмножество прямой имеет хотя бы одну предельную точку.)

• Замкнутое множество в хаусдорфовом пространстве называется совершенным, если каждая его точка является предельной (то есть, если множество не содержит изолированных точек). Примерами совершенных множеств могут служить отрезок прямой, множество Кантора.

• Рассмотрим множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией, порождённой открытыми интервалами. Тогда относительно этой топологии имеем:
  • ${\displaystyle (a,b)'=[a,b];}$
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} '=\mathbb {R} ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел;
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} '=\varnothing ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — множество целых чисел;
• Пусть ${\displaystyle \omega _{1}}$ — первый несчётный ординал. Рассмотрим ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ — ординал ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ с порядковой топологией. Точка ${\displaystyle \omega _{1}}$ является предельной точкой множества ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$, однако не существует последовательности из элементов этого множества, сходящейся к ${\displaystyle \omega _{1}}$.

В частности, предельной точкой числового множества, имеющего бесконечное число элементов, называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества. Также можно считать предельной точкой такого множества ${\displaystyle -\infty }$, если из некоторых его элементов можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными отрицательными элементами. Если же можно составить бесконечно большую последовательность с попарно различными положительными элементами, то можно считать предельной точкой ${\displaystyle +\infty }$^[1].

Верхняя предельная точка числового множества — это наибольшая из его предельных точек.

Нижняя предельная точка числового множества — это наименьшая из его предельных точек.

• У любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, существуют и верхняя, и нижняя предельные точки (в множестве вещественных чисел). Если добавить в множество вещественных чисел ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, то в получившемся множестве предельные точки имеют вообще все числовые множества с бесконечным числом элементов.

• Из элементов любого ограниченного числового множества, имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся последовательность, элементы которой попарно различны.

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности^[1].

${\displaystyle x}$ — предельная точка последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb {N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{i}-x\right|<\varepsilon }$

Наибольшая предельная точка последовательности называется её верхним пределом, а наименьшая предельная точка — нижним пределом.

Иногда во множество возможных предельных точек включают «${\displaystyle -\infty }$» и «${\displaystyle +\infty }$». Так, если из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой отрицательны, то говорят, что «${\displaystyle -\infty }$» является предельной точкой этой последовательности. Если же из последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность с исключительно положительными элементами, то говорят, что «${\displaystyle +\infty }$» является её предельной точкой^[1]. При этом, разумеется, у последовательности могут быть и другие предельные точки.

• Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке (то есть точка является частичным пределом последовательности).

  ${\displaystyle x}$ — предельная точка последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\forall i\in \mathbb {N} \colon k_{i}<k_{i+1}\land \lim _{n\to \infty }x_{k_{n}}=x}$

  Иногда это свойство принимают за определение, а приведённое выше определение — за свойство.

• Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

  ${\displaystyle x,x'}$ — предельные точки последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\land \exists \lim _{n\to \infty }x_{n}\Rightarrow x=x'}$

• Предельная точка любой сходящейся числовой последовательности совпадает с её пределом.

  ${\displaystyle x}$ — предельная точка последовательности ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\land \exists \lim _{n\to \infty }x_{n}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$

• Для любого конечного множества точек можно построить последовательность, для которой эти точки будут являться предельными и никакие, кроме них.
• У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

• У последовательности из единиц ${\displaystyle \left\{1\right\}_{n=1}^{\infty }}$ существует единственная предельная точка 1 (хотя она не является предельной точкой множества значений элементов последовательности, состоящего из одного элемента).
• У последовательности ${\displaystyle \left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }}$ существует единственная предельная точка 0.
• У последовательности натуральных чисел ${\displaystyle \left\{n\right\}_{n=1}^{\infty }}$ нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка ${\displaystyle +\infty }$).
• У последовательности ${\displaystyle \left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ существуют две предельные точки: −1 и +1.
• У последовательности из всех рациональных чисел ${\displaystyle \left\{q_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Пусть ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ — направление элементов топологического пространства ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle x}$ называется предельной точкой направления, если для любой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ и для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {A} }$ найдётся индекс ${\displaystyle \beta \in \mathrm {A} }$ такой что ${\displaystyle \beta \geqslant \alpha }$ и ${\displaystyle x_{\beta }\in U}$

• Точка является предельной точкой направления тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • В частности, точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда существует поднаправление, сходящееся к этой точке.
  • Если каждая точка топологического пространства обладает счётной базой, то в предыдущем пункте можно говорить о подпоследовательностях.

Пусть ${\displaystyle A=[0,1)}$ — направлено по возрастанию. У направления ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}_{\alpha \in A}}$ существует единственная предельная точка ${\displaystyle {1}}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle [0,1]}$.

• Изолированная точка

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.