Преобразование Вигнера — Вилла

Преобразование Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville transform) — один из эффективных методов спектрально-временного анализа нестационарных сигналов^[1][2][3][4]. Встречаются другие названия: преобразование Вигнера — Вилля, распределение Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville distribution), распределение Вигнера — Вилля, функция Вигнера.

${\displaystyle P\left(\tau ,f\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }s\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot s^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt}$

Распределение ${\displaystyle P\left(\tau ,f\right)}$ может принимать только действительные значения (включая отрицательные).

Несмотря на высокое разрешение как по частоте, так и по времени, распределение может порождать побочные частотные компоненты^[3][4], затрудняющие анализ сигнала. Это связано с нелинейностью преобразования.

Существует несколько методов, позволяющих уменьшить интенсивность побочных компонент, используя определённые процедуры усреднения. Один из них − использование окна h(t) во временной области. В результате получается так называемое псевдопреобразование Вигнера^[2][3][4]:

${\displaystyle P\left(\tau ,f\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)\cdot s\left(\tau +{\frac {t}{2}}\right)\cdot s^{*}\left(\tau -{\frac {t}{2}}\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt}$

Если окно прямоугольное:

${\displaystyle h(t)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&-t_{0}\leq t\leq t_{0}\\0,&|t|>t_{0}\end{array}}\right.{\textrm {,}}}$

то при ${\displaystyle t_{0}\rightarrow \infty }$ псевдопреобразование Вигнера переходит в обычное преобразование Вигнера — Вилла. При уменьшении t₀ интенсивность побочных спектральных компонент снижается, плата за это — ухудшение частотного разрешения.

При анализе оцифрованного сигнала псевдопреобразование Вигнера удобнее вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) в скользящем окне^[3]. Для этого перед вычислением процедуры БПФ выборку из сигнала s[n], выделенную скользящим окном размером N_win отсчетов, преобразуют по следующему алгоритму:

если размер окна нечётный, то

${\displaystyle {\begin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-1],&n=0,1,\ldots ,N_{win}-1,\end{array}}}$

для четного размера окна

${\displaystyle {\begin{array}{ll}s_{1}[n]=s[n]\cdot s^{*}[N_{win}-n-2],&n=0,1,\ldots ,N_{win}-2,\\s_{1}[N_{win}-1]=s[N_{win}-1]\cdot s^{*}[N_{win}-1];&\end{array}}}$

чтобы результат процедуры БПФ получился действительным, необходимо перед её вычислением выполнить циклическую перестановку полученного сигнала s₁[n] влево на (N_win−1)/2 (если Nwin — нечётное) или на N_win/2-1 (если N_win — четное).

При построении вычисленного спектрально-временного распределения все значения на шкале частот следует разделить на 2

Для иллюстрации метода пригодна бесплатная компьютерная программа PSE Lab^[5].

Результат построения спектрально-временного распределения для сигнала, смоделированного на компьютере:

${\displaystyle s[n]=\exp \left(j\cdot \left(2\pi \cdot 0.05\cdot n+100\cdot \sin \left(2\pi \cdot 0.0005\cdot n\right)\right)\right)+\exp \left(j\cdot \left(2\pi \cdot 0.1\cdot n+200\cdot \sin \left(2\pi \cdot 0.0005\cdot n\right)\right)\right),}$

состоящего из двух ЧМ компонент, мгновенная цифровая частота одной из них меняется по синусоидальному закону в диапазоне от 0 до 0,1, а другой — от 0 до 0,2, приведены на рисунках.

На рис. 1 представлено спектрально-временное распределение энергии, полученное с помощью псевдопреобразования Вигнера c размером окна N_win=500 отсчетов. По оси абсцисс отложено время (увеличивается слева-направо), по оси ординат — цифровая частота. Более темные участки распределения соответствуют большей интенсивности.

Для сравнения, на рис. 2 представлена Фурье-спектрограмма, вычисленная с таким же размером окна.

Качественно можно видеть, что спектрально-временное распределение Вигнера — Вилла (рис. 1) имеет более высокое частотно-временное разрешение, по сравнению со спектрограммой (рис. 2).

При увеличении размера окна количество и интенсивность побочных частотных компонент в распределении Вигнера — Вилла увеличиваются, что может осложнить анализ основных частотных компонент (рис. 3).

• Коэн Л. Время — частотные распределения: Обзор // ТИИЭР. — 1989. — Т. 77, № 10. — С. 72-120.
• Лазоренко О. В. Сверхширокополосные сигналы и физические процессы. 2. Методы анализа и применение // Радиофизика и радиоастрономия. — 2008. — Т. 13, № 4. — С. 270-322.
• Лупов С. Ю., Кривошеев В. И. Модификация преобразования Вигнера — Виля для анализа интерферометрических данных газодинамических процессов // Вестник ННГУ. — 2011. — № 5(3). — С. 95-103.
• Лупов С. Ю. Частотно — временной анализ интерферометрических данных о газодинамических процессах: Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико — математических наук (01.04.03 — Радиофизика). — Н. Новгород, 2012. — 147 с.

• PSE Lab  (неопр.). — бесплатный программный продукт позволяет вычислить спектрально-временное распределение нестационарных сигналов различными методами (преобразование Вигнера — Вилла и др.). Позволяет оценить спектральную плотность мощности отрезка сигнала различными методами (периодограмма, метод Прони, MUSIC и др.). Дата обращения: 29 августа 2013. Архивировано 16 сентября 2013 года..
• Некоторые оконные функции и их параметры.