Признак КуммераПризнак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером. Формулировка
Доказательство [1] Дан ряд . 1. Доказательство сходимости. Пусть для всех выполняется неравенство:
Домножив обе части этого неравенства на , получим:
а поскольку , то:
Отсюда следует, что последовательность монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность ), которая является суммой первых членов ряда
который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд . Тогда, поскольку , должен сходиться и данный ряд . Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд расходится. 2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого выполняется неравенство: или
Разделив обе части этого неравенства на получим:
Так как по условиям теоремы ряд предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд . ■ Формулировка в предельной форме
Важные частные случаиНекоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности :
Примечания
Литература
Ссылки
|
Portal di Ensiklopedia Dunia