Принцип двойственности (теория множеств)

Принцип двойственности в теории множеств — утверждение о свойствах операций над множествами.

Пусть дано множество ${\displaystyle M}$. Рассмотрим систему всех его подмножеств. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества ${\displaystyle M}$, которая формулируется лишь с использованием операций объединения (${\displaystyle A\cup B}$), пересечения (${\displaystyle A\cap B}$) и дополнения (${\displaystyle {\overline {A}}}$), то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции объединения и пересечения соответственно операциями пересечения и объединения, пустого множества ${\displaystyle \emptyset }$ — множеством ${\displaystyle M}$, а множества ${\displaystyle M}$ — пустым множеством.

• Теорема. Для любых подмножеств ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}$.

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: ${\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)}$.

• Теорема. Для любого подмножества ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\emptyset }$.

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: ${\displaystyle A\cup {\overline {A}}=M}$.

Важно отметить, что принцип двойственности применим только в тех случаях, когда утверждение теоремы постулирует равенство двух выражений над множествами; в других случаях он может нарушаться. Например, для любых подмножеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ множества ${\displaystyle M}$ верно, что ${\displaystyle A\cap B\subseteq A\cup B}$; однако двойственное утверждение (${\displaystyle A\cup B\subseteq A\cap B}$) неверно.

• Двойственности принцип // Гоголь — Дебит. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 7).