Присоединённые многочлены Лежандра

В математике присоединенные полиномы Лежандра являются каноническими решениями обобщённого уравнения Лежандра $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$ или эквивалентно $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$ Где индексы ℓ и m (целые числа) называются соответственно степенью и порядком присоединенного полинома Лежандра. Уравнение имеет ненулевые решения, неособенные на отрезке {−1, 1}, только если ℓ и m — целые числа, удовлетворяющие условию 0 ≤ m ≤ ℓ, или аналогично эквивалентные отрицательные значения. Если m чётное, функция является полиномом. При m=0 и целочисленном ℓ, эти функции идентичны с полиномами Лежандра. В общем, когда ℓ и m целые, стандартные решения иногда называют «присоединенные полиномы Лежандра», даже если они не являются многочленами (полиномами), когда m нечетное. Общий класс функций с произвольными действительными или комплексными величинами для ℓ и m называют функциями Лежандра. В этом случае параметры часто обозначают греческими буквами. Обычное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других технических областях. В частности, оно возникает при решении уравнения Лапласа (и связанных с ним дифференциальных уравнений в частных производных) в сферических координатах. Присоединенные полиномы Лежандра играют ключевую роль в определении сферических гармоник.

Эти функции обозначаются как ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$, где верхний индекс указывает порядок, а не степень P. Их наиболее простое определение связано с производными обычных полиномов Лежандра (m ≥ 0): $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$ Коэффициент/Множитель (−1)^m в этой формуле известен как фаза Кондона-Шортли. Некоторые авторы его опускают. Функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра для указанных значений параметров ℓ and m, что следует из дифференцирования уравнения Лежандра m -раз для P_ℓ: $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$ Кроме того, согласно формуле Родригеса: $${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$ Функция Pm
ℓ может быть выражена в виде: $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$ Это уравнение позволяет расширить диапазон m до −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Определения P_ℓ^±m, полученные подстановкой ±m пропорциональны. Действительно, приравнивая коэффициенты одинаковых степеней с левой и правой сторон $${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$ Следовательно, коэффициент пропорциональности равен $${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$ Так что $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$$

Альтернативная запись

В литературе также используется следующая альтернативная запись: $${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Закрытая форма

Связанный полином Лежандра также может быть записан в следующем виде:

$${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(k-m)!}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

с использованием простых одночленов и обобщённой формы биномиального коэффициента.

Связанные полиномы Лежандра в общем не ортогональны друг другу. Например, ${\displaystyle P_{1}^{1}}$ не ортогонален ${\displaystyle P_{2}^{2}}$. Однако некоторые подмножества ортогональны. При условии 0 ≤ m ≤ ℓ', они удовлетворяют условию ортогональности для фиксированного m. $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$ Где δ_k,ℓ — это дельта Кронекера. Кроме того, они удовлетворяют условию ортогональности для фиксированного ℓ: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

Дифференциальное уравнение явно инвариантно относительно изменения знака m Функции для отрицательных значений m были показаны выше, как пропорциональные функциям для положительных значений m: $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$ (Это следует из определения формулы Родригеса. Это определение также позволяет применять различные рекуррентные формулы как для положительных, так и для отрицательных значений m.) $${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$ Дифференциальное уравнение также инвариантно относительно изменения от ℓ до −ℓ − 1, и функции для отрицательных значений ℓ определяются как $${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

Из их определения можно установить, что присоединенные функции Лежандра являются чётными или нечётными в зависимости от значения: $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Присоединённые функции Лежандра первых степеней, включая функции для отрицательных значений m, следующие: $${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

Эти функции обладают рядом рекуррентных свойств: $${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$ Полезные тождества (начальные значения для первой рекурсии): $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$ $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ где !! двойной факториал.

Интеграл от произведения трёх связанных полиномов Лежандра (с совпадающими порядками, как показано ниже) является необходимым элементом при разложении произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по этим полиномам. Это, например, необходимо при выполнении атомных вычислений для метода Хартри-Фока, где нужны матричные элементы оператора Кулона. Для этого используется формула Гонта $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$ Эта формула должна использоваться при следующих условиях: 1. Степени — неотрицательные целые числа ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$ 2. Все три порядка — неотрицательные целые числа ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$ 3. Порядок ${\displaystyle u}$ является наибольшим из трёх 4. Порядки суммируются ${\displaystyle u=v+w}$ 5. Степени подчиняются определённым условиям ${\displaystyle m\geq n}$ Другие величины, содержащиеся в формуле, определяются как $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$ $${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$ $${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$ Интеграл равен нулю, если выполняются следующие условия: 1. Сумма степеней чётная, чтобы ${\displaystyle s}$ было целым числом 2. Выполняется треугольное равенство/условие ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$ Донг и Лемус (2002) обобщили вывод этой формулы для интегралов от произведения произвольного числа присоединенных полиномов Лежандра.

Эти функции могут быть определены для общих комплексных параметров и аргументов. $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$ где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, а ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гипергеометрическая функция. $${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$ Эти функции называются функциями Лежандра, когда они определяются таким более общим способом. Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что было описано выше: $${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$ Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, у него существует второе решение, ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$ задается: $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$ оба подчиняются нескольким рекуррентным формулам, приведённым ранее.

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент репараметризован через углы - ${\displaystyle x=\cos \theta }$:

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

Используя соотношение ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$, приведённая выше формула даёт первые несколько полиномов, параметризованных таким образом, как: $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

Ортогональные соотношения, приведённые выше, в этой формуле: для фиксированного m, функции ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ортогональны, параметризованные через θ в промежутке ${\displaystyle [0,\pi ]}$ с весом ${\displaystyle \sin \theta }$: $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$ Также для фиксированного ℓ: $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$ В условии θ, для ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ является решением: $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$ Точнее говоря, для целого m${\displaystyle \geq }$0, уравнение имеет невырожденные решения только тогда, когда ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$, для целого ℓ, выполняется условие ≥ m, и эти решения пропорциональны для ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$.

Во многих областях физики полиномы Лежандра, выраженные через углы, возникают там, где присутствует сферическая симметрия. Зенитный (полярный) угол в сферических координатах — это угол ${\displaystyle \theta }$, использованный ранее. Азимутальный угол ${\displaystyle \phi }$ появляется как сомножитель. Вместе они образуют набор функций, называемых сферическими гармониками. Эти функции выражают симметрию двух сфер (сферы Римана) под действием группы Ли SO(3). Полезность этих функций в том, что они основные в решении уравнения ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$ на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота), Лапласиан это $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$ Частная производная равна: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$ и решается методом разделения переменных, получается часть, зависящая от угла ϕ ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ или ${\displaystyle \cos(m\phi )}$ для целого m≥0, и уравнение для части, зависящей от угла θ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$ для которого решения имеют вид ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ где ${\displaystyle \ell {\geq }m}$ и ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$. Следовательно, уравнение $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$ имеет неособенные разделенные решения только когда ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$, и эти решения пропорциональны $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$ и $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

Для каждого значения ℓ существует 2ℓ + 1 функций для различных значений m, синуса и косинуса. Все они ортогональны как по ℓ, так и по m, когда интегрируются по поверхности сферы. Решения обычно записываются в условиях комплексных экспонент: $${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$ Функции ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$ — это сферические гармоники, а выражение под квадратным корнем является нормирующим коэффициентом. Учитывая связь между присоединенными функциями Лежандра с положительными и отрицательными m, можно легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождественности $${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

Сферические гармоники образуют полное ортонормированное множество функций в контексте разложения в ряд по Фурье. В геодезии, геомагнетизме и спектральном анализе специалисты используют другие фазовые и нормировочные коэффициенты, чем приведенные здесь (см. сферические гармоники).

При решении трёхмерного сферически симметричного дифференциального уравнения методом разделения переменных в сферических координатах, часть, оставшаяся после удаления радиальной части, обычно имеет форму $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$ И, следовательно, решениями являются сферические гармоники.

Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами. В форме сферических гармоник они выражают симметрию двух-сферы (Сферы Римана) под действием группы Ли SO(3). Есть и другие группы Ли, кроме SO(3), и существуют для которых аналогичные обобщения полиномов Лежандра, которые выражают симметрии полупростых групп Ли и римановых симметричных пространств. Грубо говоря, можно определить Лапласиан на симметричных пространствах; собственные функции Лапласиана можно рассматривать как обобщение сферических гармоник для других случаев.