Проекция Мольвейде

Проекция Мольвейде — равновеликая псевдоцилиндрическая картографическая проекция. Также известна как проекция Бабине, а также эллиптическая, гомолографической или гомалографической проекция. Обычно используется для представления карты мира или небесной сферы. Термин равновеликая обозначает, что проекция сохраняет соотношение площадей объектов, но искажает их форму.

Проекция впервые была опубликована в 1805 году саксонским математиком и астрономом Карлом Мольвейде (1774—1825) в Лейпциге. В 1857 году Жак Бабинэ повторно изобрел эту проекцию и популяризовал ее под именем гомалографической. Во многие атласы XIX в. эта проекция вошла как гомолографическая.^[1]

Проекция Мольвейде псевдоцилиндрическая, в которой экватор задан прямой горизонтальной линией, перпендикулярной центральному меридиану. Длина центрального меридиана равна половине длины проецированного экватора. Меридианы, отстоящие на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ к западу и востоку от центрального, вместе образуют окружность, тогда как все прочие меридианы изображаются равномерно распределенными полуэллипсами. Вся карта представляет собой эллипс с отношением осей 2:1. Все параллели представляют собой прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Расстояние между ними уменьшается по мере удаления от экватора. Отношении между площадями на карте такие же, как как между соответствующими площадями на земном шаре, но их форма искажается, в особенности при приближении к периметру эллипса, хотя и в меньшей степени по сравнению с синусоидальной проекцией.

На основе проекции Мольвейде были созданы другие картографические проекции, например Ван дер Гринтена, Гуда или Боггса^[4]

Проекция образуется путем трансформации широты ${\displaystyle \varphi }$ и долготы ${\displaystyle \lambda }$ в координаты x и y на карте с помощью следующих выражений:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta ,\\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \theta }$ — вспомогательный угол, определяемый из уравнения

${\displaystyle 2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi ,\qquad (1)}$

${\displaystyle \lambda _{0}}$ — долгота центрального меридиана карты, а R — радиус проецируемой сферы. Площадь карты составляет ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$, что соответствует площади поверхности проецируемой сферы. Координата x заключена в диапазоне [−2R√2, 2R√2], а координата y — в диапазоне [−R√2, R√2].

Уравнение (1) может быть решено численно методом Ньютона-Рафсона:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\varphi ,\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _{n}}}.\end{aligned}}}$^{[note 1]}

Если ${\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{2}}}$, то и ${\displaystyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}}$. Уравнение (1) решается аналитически, хотя в итерационной формуле получается неопределенность типа ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$.

Существует аналитическое выражение для обратного преобразования:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta ^{\prime }+\sin 2\theta ^{\prime }}{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta ^{\prime }}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ может быть определено из уравнения

${\displaystyle \theta ^{\prime }=\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,}$

Обратные преобразования позволяют найти широту и долготу, соответствующие координатам на карте x и y.

• Список картографических проекций
• Синусоидальная проекция
• Гиперэллиптическая проекция Тоблера

• An interactive Java applet to study deformations (area, distance and angle) of the Mollweide Map Projection
• Mollweide Projection at Mathworld
• Проекция Мольвейде