Производная обратной функции

Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$ — функция от аргумента ${\displaystyle x}$ в некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$. Если в уравнении ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y}$ считать аргументом, а ${\displaystyle x}$ — функцией, то возникает новая функция ${\displaystyle x=\phi (y),}$ где ${\displaystyle f[\phi (y)]\equiv y,}$ — функция, обратная данной.

Для дифференцируемой функции ${\displaystyle y(x)}$ с производной ${\displaystyle y'_{x}(x)}$, отличной от нуля, производная ${\displaystyle x'_{y}(y)}$ обратной функции ${\displaystyle x(y)}$ равна обратной величине производной данной функции в точке ${\displaystyle x(y)}$, то есть

${\displaystyle x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}}$^[1]

• ${\displaystyle y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.}$

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. Добавить иллюстрации. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.