Производные Виртингера

Производные Виртингера (операторы Виртингера^[1], формальные комплексные частные производные^[2]) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$. Для комплексной функции одной переменной ${\displaystyle f(z)}$ определяются выражениями

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$.

Для комплексной функции нескольких переменных ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ производные Виртингера определяются выражениями

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+i{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}\right)}$.

Оператор ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$ также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-Римана^[3][4]. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных Виртингера^[1].

Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию ${\displaystyle f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$. Её дифференциал представляется в виде

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}$.

Обозначим ${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$, ${\displaystyle d{\bar {z}}=dx-i\,dy}$. Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим

${\displaystyle df={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dz+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)d{\bar {z}}}$.

Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}}$.

Представление дифференциала в виде ${\displaystyle df=p\,dx+q\,dy}$ называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде ${\displaystyle df=a\,dz+b\,d{\bar {z}}}$ — представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде ${\displaystyle df=a_{1}\,dz_{1}+b_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,dz_{n}+b_{n}\,d{\bar {z}}_{n}}$. Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z_{1}}}dz_{1}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{1}}}d{\bar {z}}_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}dz_{n}+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{n}}}d{\bar {z}}_{n}}$.

Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Функция ${\displaystyle f\colon G\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид

${\displaystyle df=a\,dz}$.

Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$. Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$ эквивалентно условиям Коши-Римана:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}},\\{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}},\end{cases}}}$

где ${\displaystyle u(x,y)=\operatorname {Re} f(z)}$, ${\displaystyle v(x,y)=\operatorname {Im} f(z)}$. Из этого становится понятным, почему ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:

${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n}$.

Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция ${\displaystyle f}$ антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и

${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial z}}=0}$ (для функции многих переменных ${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial z_{i}}}=0,\quad \forall i=1\ldots n}$).

Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде ${\displaystyle df=a\,d{\bar {z}}}$ (или ${\displaystyle df=a_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+\ldots +a_{n}\,d{\bar {z}}_{n}}$ для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

• Моногенная функция
• Условия Коши-Римана
• Дифференциал (математика)

• Чиа-чи Тун. О производных Виртингера и операторе, сопряженном к ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$, а также об их приложениях (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая : журнал. — 2018. — Т. 82, вып. 6. — С. 172–199.
• Are Hjorungnes, David Gesbert. Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing : журнал. — 2007. — July (vol. 55, iss. 6). — P. 2740–2746.
• Joel H. Shapiro. Introduction to the Cauchy-Riemann operator (англ.) (pdf). Joel H. Shapiro Lecture Notes (26 апреля 2021). Дата обращения: 13 июля 2022.
• Н. С. Иманбаев. Задача о собственных значениях дифференциального оператора Коши–Римана с нелокальными краевыми условиями (рус.) // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» : журнал. — 2014. — Т. 1, вып. 34. — С. 25-36.