Простое кольцо (алгебра)

Простое кольцо — кольцо ${\displaystyle R}$, такое, что ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}$ и в ${\displaystyle R}$ нет двусторонних идеалов, отличных от ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \{0\}}$.

• Рассмотрим кольцо ${\displaystyle R}$, такое, что ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}$, и аддитивная группа ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ имеет простой порядок. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ — простое, так как в ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ простое кольцо.
• Если ${\displaystyle P}$ — поле, ${\displaystyle n}$ — натуральное число, то кольцо матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (P,n)}$ — простое.

Пусть ${\displaystyle R}$ — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно кольцу всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над некоторым телом. При этом ${\displaystyle n}$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела ${\displaystyle D}$ кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)}$ является простым кольцом.

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Для улучшения этой статьи желательно: Оформить список литературы. Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.