Пространство Браунера

В функциональном анализе и связанных областях математики пространством Браунера называется полное локально выпуклое k-пространство ${\displaystyle X}$ обладающее последовательностью компактных множеств ${\displaystyle K_{n}}$ таких что любое компактное множество ${\displaystyle T\subseteq X}$ содержится в некотором ${\displaystyle K_{n}}$.

Пространства Браунера названы в честь Калмана Браунера^[1], первым начавшего их изучение. Все пространства Браунера стереотипны и находятся в отношении стереотипной двойственности с пространствами Фреше^[2][3]:

• для всякого пространства Фреше ${\displaystyle X}$ его стереотипно сопряженное пространство^[4] ${\displaystyle X^{\star }}$ является пространством Браунера,

• и наоборот, для любого пространства Браунера ${\displaystyle X}$ его стереотипно сопряженное пространство ${\displaystyle X^{\star }}$ является пространством Фреше.

• Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle \sigma }$-компактное локально компактное топологическое пространство, а ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ — пространство непрерывных функций на ${\displaystyle M}$ (со значениями в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ или ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle M}$. Сопряженное пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$ мер с компактным носителем на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ является пространством Браунера.

• Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие и ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ — пространство гладких функций на ${\displaystyle M}$ (со значениями в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ или ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости по каждой производной на компактах в ${\displaystyle M}$. Сопряженное пространство ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(M)}$ распределений с компактным носителем на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ является пространством Браунера.

• Пусть ${\displaystyle M}$ — многообразие Штейна и ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ — пространство голоморфных функций на ${\displaystyle M}$, наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle M}$. Сопряженное пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$ аналитических функционалов на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ является пространством Браунера.

• Пусть ${\displaystyle G}$ — компактно порожденная группа Штейна. Пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$ голоморфных функций экспоненциального типа на ${\displaystyle G}$, является пространством Браунера относительно естественной топологии.^[3]

• Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces. — New York: The MacMillan Company, 1966. — ISBN 0-387-98726-6.

• Robertson A.P., Robertson, W.J. Topological vector spaces. — Cambridge University Press, 1964. — Т. 53. — (Cambridge Tracts in Mathematics).

• Brauner, K. Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem (англ.) // Duke Math. Jour. : journal. — 1973. — Vol. 40, no. 4. — P. 845—855. — doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7.

• Akbarov, S.S. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra (англ.) // Journal of Mathematical Sciences : journal. — 2003. — Vol. 113, no. 2. — P. 179—349. — doi:10.1023/A:1020929201133.

• Akbarov, S.S. Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity (англ.) // Journal of Mathematical Sciences : journal. — 2009. — Vol. 162, no. 4. — P. 459—586. — doi:10.1007/s10958-009-9646-1.