Развитие числовой системы в исламском мире

Данная статья — часть обзора Математика исламского Средневековья.

Числовая система, используемая в исламском мире, прошла значительную эволюцию, начиная с первых веков исламской цивилизации. Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации, а с VIII века багдадской школой была предложена десятичная позиционная система. Кроме индийской десятичной системы также использовалась вавилонская шестидесятеричная система — именно в исламском мире впервые было предложено разделение часа на шестидесятеричные части (минуты, секунды, терции). В средневековый период математики стран ислама расширили определение числа от натурального, которое было принято в Древней Греции, до вещественного. Они разработали теорию иррациональных чисел и теорию отношений произвольных величин, открыли концепцию десятичных дробей и систематизировали правила работы с отрицательными числами. Их достижения заложили фундамент для дальнейшего развития математики в Европе и оказали существенное влияние на формирование современной арифметики и других дисциплин.

Существенным элементом представления десятичных разрядов чисел является символ нуля, который указывает на отсутствие значения в соответствующем разряде: например, число 304 содержит трижды 100, ни разу 10 и четырежды 1; в отличие от числа 34, которое содержит трижды 10 и четыре раза 1. Эта важная концепция нуля восходит к индийской математике, где она использовалась, по крайней мере, с VII века^[1]. Ноль по-арабски назывался сифр («пустой», «ничто»); это название породило, среди прочего, немецкое слово «Ziffer» и английское «zero», обозначающие ноль, русское слово «шифр», а также русское, украинское, болгарское и сербское слово «цифра», польское «cyfra», чешское «cifra» и французское «chiffre»^[2].

В древнегреческой математике существовали принципиально разные понятия числа и величины. Разделение было настолько строгим, что в работах Евклида они рассматривались в разных книгах. К числам в древнегреческой математике относили только натуральные числа^{[Прим. 1]}, а к величинам относили непрерывные сущности, такие как длины, площади, объёмы, углы или время — они могли быть произвольно делимыми и измеряемыми. Различая эти понятия, греки создали две разные теории для работы с ними: теорию отношений натуральных чисел и общую теорию отношений непрерывных величин. Хотя в позднеэллинистическую эпоху математики уже начали приближаться к тому, чтобы рассматривать отношение как некоторое обобщение понятия числа (например, появилось понятие «количества отношений»), такой шаг всё же сделан не был. Греки не видели потребности в разработке правил арифметических операций над отношениями^[3].

Математики исламского мира соединили древнегреческие понятия числа и величины в единую более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношения непрерывных величин. Это явилось естественным следствием нового, по сравнению с античным, подхода к математической науке в целом, когда на равных правах с теоретическими разделами в неё были включены практическая арифметика и алгебра^[3].

Аль-Хорезми (780—850) дал следующее определение корня числа^[3]:

В своих комментариях к X книге «Начал» Евклида, персидский математик аль-Махани (820—880) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа и более общие кубические иррациональные числа, которых в древнегреческой математике не исследовали. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами^[4]:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввёл арифметический подход ко множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность результата сложения иррациональной величины и рациональной, результата вычитания рациональной величины из иррациональной и результата вычитания иррациональной величины из рациональной^[4].

Значительный вклад в развитие теории отношений произвольных величин внёс Сабит ибн Курра (836—901), который в своих работах начал стирать грань между числами и величинами. Он применял к величинам термины, которые в античной математике использовались только для чисел. В своих трудах он обосновывал этот подход: «Мы хотим изложить здесь отношения величин таким образом, чтобы все, относящееся ко всем величинам, выполнялось в виде примеров на числах… Поэтому величина у нас понимается или как величина в старом смысле слова, или как число». Его работы, где он свободно пользовался умножением и делением непрерывных величин, стали важным шагом к стиранию принципиального различия между числами и величинами, заложенного древними греками^[3].

Египетский математик Абу Камил (850—930) был первым, кто счёл приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени^[5]. Он отбросил принцип однородности, принятый в древнегреческой математике, изображая отрезками как само число, так и первую и вторую степени неизвестной.

Ахмад аль-Ахвази в своих комментариях к X книге «Начал» Евклида классифицировал иррациональности схожим с аль-Махани образом, но в отличие от него он, как и Евклид, ограничился лишь квадратичными иррациональностями в количестве 27 видов. Однако в отличие от Евклида он классифицировал иррациональности с арифметической точки зрения. Также он проиллюстрировал свою классификацию числовыми примерам и сформулировал утверждение о неоднозначности разложения рационального числа на иррациональные сомножители^[3].

Иракский математик аль-Хашими вывел общие доказательства, а не наглядные геометрические демонстрации, иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами^[6].

Абу Джафар аль-Хазин (900—971) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины^[7]:

Ибн Тахир аль-Багдади (961/980—1037) написал трактат «О соизмеримых и несоизмеримых величинах», целью которого он поставил согласование правил действий над числовыми иррациональностями с основными положениями «Начал» Евклида. Он сформулировал и доказал теорему, что между двумя рациональными числами существует бесконечное количество иррациональных чисел^[3].

Омар Хайям (1048—1131) теоретически обосновал расширение понятия «числа» до положительного действительного числа^[8]. Важным новшеством в его подходе стало допущение делимости единицы — идея, противоречащая античной традиции. Это позволило ему ввести обобщённое понятие числа, включающее иррациональные отношения. В своих доказательствах он предлагал рассматривать величины абстрактно, «отвлечённые разумом» от их конкретной природы (линии, поверхности, тела или времени)^[3].

Аль-Каши (1380—1429) дал следующее определение корня числа, которое также включает в себя любые целые корни выше третьей степени^[3]:

Учение об иррациональностях позднее вошло в европейскую математическую литературу в том виде, в котором оно было разработано средневековыми учёными исламского мира. Благодаря им оно воспринималось уже исключительно как числовая теория, не требовавшая геометрического обоснования^[3].

В долгом и сложном процессе формирования понятия действительного числа труды математиков исламского Востока сыграли ключевую роль. Они ознаменовали собой начало нового периода истории математики. На заложенном ими фундаменте основывались исследования европейских учёных, в сочинениях которых мы находим яркий пример преемственности научных идей^[3].

Влияние восточной математической мысли наглядно проявилось в работах Леонардо Пизанского, который учился математике у арабских учителей в Алжире. В XIII веке он представил первое в Европе изложение книги X «Начал» Евклида. В своей работе, следуя за исламскими авторами, он отмечал: «Некоторые числа имеют корень и называются квадратами, а некоторые не имеют; их корни называются глухими, поскольку их нельзя найти в числах». Для обозначения иррациональных чисел он использовал прямой перевод арабского термина «асам» (глухой). До Леонардо Пизанского этот термин применил Герард Кремонский, который писал: «Глухая величина <…> это та, которую нельзя выразить словом, как корни чисел, не являющихся квадратными». В 14-й главе Фибоначчи дал определение евклидовых иррациональностей в арифметической форме, которое раннее было дано арабскими авторами^[3].

Окончательно же современное понятие действительного числа было сформировано лишь в XIX веке, когда Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором было дано математически строгое определение^[3].

Числовая система, используемая в исламском мире, прошла значительную эволюцию, начиная с первых веков исламской цивилизации. Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации^[9], а с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему. Пальцевый счёт использовался в деловых кругах, а шестидесятиричная вавилонская система — в астрономии. К X веку три последние системы все ещё широко использовались в своих областях. Авторы, такие как Ибн Тахир аль-Багдади, создавали труды, в которых сравнивали данные системы^[10].

В IX веке аль-Хорезми (780—850) написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшей популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до мусульманской Испании. В этом сочинении впервые было дано систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления. В XII веке эта книга переводится на латинский^[11]. Произведение сохранилось только в единственном экземпляре на латинском, арабский оригинал был утерян. Перевод начинается со слов «Dixit Algorizmi» («Аль-Хорезми сказал»)^[12].

От имени аль-Хорезми (лат. Algorizmi) произошло слово «алгоритм». В отличие от современного понятия, которое означает любой набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи, в средние века европейские математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления, а позднее так стало называться любое вычисление по строго определённым правилам^[11].

Одним из самых ранних трудов по арифметике, сохранившихся в оригинале на арабском, является книга «О началах индийской арифметики»^[англ.] Кушьяра ибн Лаббана (971—1029). Она оказала большое влияние на исламские страны и сыграла важную роль в окончательном распространении десятичной системы^[13].

Цифры для десятичной системы были заимствованы из Индии, однако не существовало единого стандартного набора символов. В разных частях исламского мира формы цифр отличались. Изначально индийские методы вычислений применялись используя так называемую «доску для пыли». Она была необходима, поскольку вычисления требовали перемещения и удаления цифр в процессе работы. Доска для пыли позволяла выполнять эти действия так же, как современные маркерная доска или школьная доска с мелом и губкой. Аль-Уклидиси в X веке шагнул вперёд, предложив способы адаптации этих методов для работы на бумаге^[10].

В шестидесятеричной системе цифры обозначались буквами арабского алфавита. Она пришла от вавилонян и чаще всего использовалась арабскими математиками в астрономических работах^[10].

Аль-Бируни был первым, кто разделил час на шестидесятеричные части: минуты, секунды, терции и четверти в 1000 году^[14]. Шестидесятеричную систему до сих пор применяют при измерении времени, углов, географических координат и для электронной навигации.

В 1424 году Аль-Каши вычислил число π с рекордной точностью в 9 знаков в шестидесятеричной системе счисления. После чего он перевёл число в десятичную систему, получив точность в 16 десятичных знаков после запятой. В 1427 году в трактате «Ключ к арифметике» он подробно описал шестидесятеричную систему счисления. В астрономических трудах древних греков в этой системе записывалась только дробная часть числа, тогда как целая часть фиксировалась в традиционной буквенной ионической системе. Аль-Каши предложил записывать в шестидесятеричной системе и целую часть, тем самым фактически вернувшись к форме записи, принятой у древних вавилонян. Однако сам он, вероятно, об этом не знал. В том же трактате Аль-Каши вводит десятичные дроби, формулирует основные правила действий с ними и описывает способы перевода шестидесятеричных дробей в десятичные и обратно^[15][16].

Система счета, основанная на использовании пальцев и записи чисел словами, была популярна в деловом сообществе Восточного халифата, даже несмотря на наличие индийских цифр. В отличие от римского пальцевого счёта, правая рука обозначала сотни, а левая — единицы и десятки, что соответствовало арабскому письму справа-налево. На восточных базарах и в портах Красного моря торговцы разработали уникальный язык жестов для тайного согласования цен. Они скрывали руки под тканью и касались ладоней по определённым правилам, чтобы избежать вмешательства посредников и конкурентов^[17]. Математик Абу-ль-Вафа, будучи экспертом в индийских цифрах, адаптировал свои работы под пальцевую арифметику, чтобы соответствовать потребностям делового сообщества^[10].

• Коптские числа были разработаны в X веке для административных целей. Они представляют собой очень беглые формы коптских букв и обычно использовались только в узкоспециализированных областях, например в коптско-арабских рукописях, включая астрономические тексты и счётные книги, где традиционный способ записи чисел с использованием букв алфавита не применялся^[18].
• Руми — числовая система, которая использовалась в Северной Африке с X по XVII века и происходила из коптской или греко-коптской традиции. Её использовали в администрации города Фес, а также в аль-Андалусе с XII века^[19].
• Cийяк (также сиякат, ракм, раккамлары) — семейство акрофонических (то есть сокращение арабских прописей «один», «два» и т.д.) систем цифровой нотации, которые использовались для налогового учёта и записи чисел^[20]. Задокументированы четыре формы^[21]: индийская/южноазиатская (исламская Индия, XVII…XX век, небольшие цифры арабские, а десятки и сотни тысяч — сокращения индийских слов^[20][22]), османская^[23], персидская и арабская (дивани). Во всех число 123 записывается на арабский манер 100, 3, 20.

Дроби в арабской математике, в отличие от древнегреческой, считались такими же полноценными числами, как и натуральные. Сперва их записывали вертикально, как индийцы, а современную черту дроби впервые ввёл аль-Хасар около 1200-го года. Позднее они появились в трудах Фибоначчи, который был хорошо знаком с математикой исламского мира, и через него распространились в Европе.

Наряду с привычными дробями в быту использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Аль-Уклидиси (920—980) был первым, кто ввёл десятичные дроби, однако при нём они не получили широкого распространения. Он ещё не использовал современную запись с десятичным разделителем, а обозначал разряд единиц, помещая над ним небольшую вертикальную черту. Использование десятичных дробей аль-Уклидиси в значительной степени представляло собой технический приём и вспомогательное средство для вычислений^[13].

Математическая ценность десятичных дробей в качестве способа приближения чисел с произвольной точностью была отмечена лишь спустя два столетия в трактате 1172 года аль-Самуала. Для вычисления корней больше квадратных он применял методы численной итерации, которые наглядно демонстрировали идею сходимости приближаемых величин к искомому значению^[13][24].

В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился только в XIV веке благодаря Иммануилу Бонфису (1300—1377). В XV веке аль-Каши (1380—1429) изложил их полную теорию, ошибочно утверждая, что является их первооткрывателем^[25]. В своём труде «Ключ к арифметике» 1427 года он описал общий метод вычисления корней n-й степени, основанный на биномиальной теореме^[26]. После него десятичные дроби получили распространение в Османской империи, а победоносное их шествие в христианской Европе началось лишь в 1585 году благодаря трудам Симона Стевина.

Определённый прогресс был достигнут с отрицательными числами. В X веке, Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для раскрытия скобок в произведении выражений вида ${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$, а аль-Караджи в своей книге «Аль-Фахри» отметил, что «отрицательные величины должны учитываться как отдельные члены». Позже, Абу-ль-Вафа аль-Бузджани в своём труде «Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и купцов» рассматривал долги как отрицательные числа^[27]. В XII веке аль-Самуал сформулировал общие правила работы с отрицательными числами и использовал их для деления многочленов^[28]:

Аль-Кушчи в XV веке использовал отрицательные числа в своей книге «Мухаммедов трактат по арифметике». Перевод этой книги на латинский впервые в Европе содержал термины positivus и negativus (положительный и отрицательный).

• Алгебра в исламском мире

• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // Annals of the New York Academy of Sciences^[англ.] : journal. — 1987. — Vol. 500. — doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.