Ряд знакочередующихся факториалов

Ряд знакочередующихся факториалов — это абсолютная величина знакочередующегося ряда факториалов первых n положительных чисел.

То есть в этой сумме факториалы берутся со знаком минус, когда индекс чётен, а n нечётен, и наоборот, когда индекс нечётен, а n чётен. Алгебраически,

\mathrm {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!

или с помощью рекуррентной формулы

\mathrm {af} (n)=n!-\mathrm {af} (n-1)

где af(1) = 1.

Первые несколько сумм знакочередующихся факториалов

1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (последовательность A005165 в OEIS)

Например, третья сумма равна 1! − 2! + 3! = 5. Четвёртая сумма равна −1! + 2! - 3! + 4! = 19. Независимо от чётности числа n последний (n-й) член суммы, n!, всегда имеет положительный знак, а (n - 1)-й — отрицательный.

Эта схема обеспечивает положительность сумм. Если изменить правило формирования суммы, чтобы независимо от чётности n знак члена суммы зависел только от чётности индекса, знак суммы будет меняться, хотя абсолютные значения будут теми же.

Миодраг Живкович в 1999 доказал, что существует лишь конечное число сумм ряда знакочередующихся факториалов, являющихся простыми числами, поскольку 3612703 делит af(3612702), а потому делит af(n) для всех n ≥ 3612702. К 2006 году были известны простые и вероятно простые af(n) для (последовательность A001272 в OEIS)

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

Лишь для значений до n = 661 была доказана простота (на 2006). Значение af(661) примерно равно 7.818097272875 × 10¹⁵⁷⁸.