Сапог Шварца

Сапог Шварца (от нем. Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

Конструкция была предложена в 1890 году Германом Шварцем как контрпример к ошибочному определению площади поверхности в книге Жозефа Серре^[1]. Независимо от Шварца, тот же пример был найден Джузеппе Пеано. Его учитель Анджело Дженокки^[итал.] также обсуждал этот вопрос со Шварцем. Дженокки проинформировал Шарля Эрмита, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе. После этого Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал заметку Шварца во втором издании своих лекций.^[2]

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на ${\displaystyle n}$ равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные ${\displaystyle k}$-угольники, причём соседние ${\displaystyle k}$-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол ${\displaystyle \pi /k}$ чтобы вершины вышележащего ${\displaystyle k}$-угольника находились над серединами сторон нижележащего ${\displaystyle k}$-угольника. Затем вершины ${\displaystyle k}$-угольников соединяются так, что образуется поверхность из ${\displaystyle 2nk}$ треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.

Если ${\displaystyle n,k\to \infty }$, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

• Простой подсчёт показывает, что
  • при ${\displaystyle k,n/k^{2}\to \infty }$ площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
  • при ${\displaystyle n,k^{2}/n\to \infty }$ площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
• Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

• Дубровский В. Н. В поисках определения площади поверхности // Квант. — 1978. — № 5. — С. 31—34.
• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Мир, 1969. — Т. 3. (§ 623).