Свободная частица

Свобо́дная части́ца — термин, используемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятие свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнения движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• ${\displaystyle E=T={\frac {mv^{2}}{2}}}$, где ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle v}$ — её скорость, в нерелятивистском случае.
• ${\displaystyle E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$, где ${\displaystyle c}$ — скорость света, в релятивистском случае.

Квантовые частицы описываются уравнением Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi }$,

где ${\displaystyle \psi }$ — волновая функция рассматриваемой частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle t}$ — время.

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }}$,

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица,

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$,

${\displaystyle A_{\mathbf {k} }}$ любое комплексное число (размерности м^−3/2).

Волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определён и равняется ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется ${\displaystyle E}$. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Гамильтониан свободной частицы

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид^[1]

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$.

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:^[2]

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$.

Классическая функция Гамильтона имеет вид

${\displaystyle H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}}$.

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально^[3]

${\displaystyle H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)}$.

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц.

Для электронов и их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса ${\displaystyle p}$ энергия частиц равняется

${\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}}$,

где знак «+» соответствует электрону, а «-» соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частица описывается уравнением Клейна — Гордона.

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить для статьи более точные категории. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.