Сегмент (геометрия)

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой^[1].

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Длина хорды ${\displaystyle c}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R}$ и высоты ${\displaystyle h}$ вычисляется по теореме Пифагора:

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

Площадь ${\displaystyle S}$ сегмента круга радиуса ${\displaystyle R,}$ опирающегося на центральный угол ${\displaystyle \textstyle \theta }$ (в радианах)^[2]:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )}$

Архимед в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой ${\displaystyle x,}$ можно определить по формуле^[3]:

${\displaystyle S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).}$

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой ${\displaystyle y=f(x)}$, пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

${\displaystyle S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2}$

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса ${\displaystyle R,}$ равна ${\displaystyle 3\pi R^{2},}$ то есть втрое больше площади порождающего круга^[4].

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx}$

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.