Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$ определено отображение ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$. Оно называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$, если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$, что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle {d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}}$.

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

• (Непрерывность) Пусть ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — сжимающее отображение метрического пространства ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент ${\displaystyle x}$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения ${\displaystyle A}$.

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.