Симметрическая алгебра

В математике, симметрической алгеброй ${\displaystyle S(V)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$) векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ называется свободная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, содержащая ${\displaystyle V}$.

Иначе говоря, симметрическую алгебру можно определить как факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида ${\displaystyle v\otimes w-w\otimes v}$. Она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle V}$ в коммутативную алгебру ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм алгебр ${\displaystyle g:S(V)\to A}$ такой, что ${\displaystyle f=g\circ i}$, где ${\displaystyle i:V\to S(V)}$ — вложение.

Симметрическая алгебра имеет градуированную структуру:

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),}$

где ${\displaystyle S^{n}(V)}$ — векторное подпространство, порождённое произведением ${\displaystyle n}$ векторов из ${\displaystyle V}$.

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Тензорная алгебра

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Бурбаки, Никола (1989), Начала математики, Алгебра I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

Для улучшения этой статьи желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.