Сингулярное распределение

Сингулярное распределение (по отношению к мере ${\displaystyle \mu }$) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве ${\displaystyle M}$ таком, что ${\displaystyle \mu (M)=0}$. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность^[1]. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.

Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.

Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).

Любое вероятностное распределение ${\displaystyle F}$ может быть представлено в виде следующей суммы:

${\displaystyle F=pF_{s}+qF_{ac}}$,

где ${\displaystyle \quad p\geqslant 0}$, ${\displaystyle q\geqslant 0}$, ${\displaystyle p+q=1}$, распределение ${\displaystyle F_{s}}$ — сингулярно по отношению к мере ${\displaystyle \mu }$, а распределение ${\displaystyle F_{ac}}$ — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере^[2].

Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).

Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве^[2]. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора ${\displaystyle (1,0)}$. Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.