Скалярный потенциал

Скаля́рный потенциа́л векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция ${\displaystyle \phi }$ такая, что во всех точках области определения поля

${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {grad} \,\phi ,}$

где ${\displaystyle \operatorname {grad} \phi }$ обозначает градиент ${\displaystyle \phi }$. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\int \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {A} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {\dot {r}} (t)\,dt}$

не зависит от пути интегрирования ${\displaystyle C=\left\{\mathbf {r} (t)|t\in [a,b]\right\}}$, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру ${\displaystyle C}$ равен нулю:

${\displaystyle \oint \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathbf {dr} =0}$

В физических терминах это означает, что механическая работа по перемещению пробного тела в силовом потенциальном поле не зависит от траектории перемещения, а только от положения начальной и конечной точек траектории.

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {grad} \,\phi \Leftrightarrow \operatorname {rot} \,\mathbf {A} =0}$

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и 1-формами ${\displaystyle \omega _{\mathbf {A} }}$, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку ${\displaystyle (0,0)}$, однако

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathbf {dr} =2\pi }$

для любого контура ${\displaystyle C}$, один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Из любого векторного поля в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \,\mathbf {A} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}dV}$

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию ${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} }$ можно отождествить с плотностью зарядов ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$. В частности, для поля

${\displaystyle \mathbf {A} =-{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}}$

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{0})=\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\delta (\mathbf {r} )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}}$

где ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$ — трёхмерная дельта-функция Дирака.

• Векторный потенциал
• Теорема разложения Гельмгольца