Список кристаллографических групп

Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

• P — примитивная;
• I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
• F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
• С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
• R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):

• ${\displaystyle n}$ — ось симметрии n-го порядка.
• ${\displaystyle {\bar {n}}}$ — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
• ${\displaystyle m}$ — плоскость симметрии.
• ${\displaystyle nm}$ или ${\displaystyle nmm}$ — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
• ${\displaystyle {\frac {n}{m}}}$ — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
• ${\displaystyle n2}$ — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• ${\displaystyle n/mmm}$ — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
• ${\displaystyle {\bar {n}}m2}$ или ${\displaystyle {\bar {n}}2m}$ (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}$ плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}$ осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
• ${\displaystyle {\bar {n}}m}$ (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

• С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

• С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
• C_nv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
• C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

• S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

• C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

• D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

• D_nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
• D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

• O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

• O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
• T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Номер	Класс	Число групп	Символ Германа-Могена	Символ Шёнфлиса	Изображение
Триклинная система
1	${\displaystyle 1}$	1	${\displaystyle P1}$	${\displaystyle C_{1}}$
2	${\displaystyle {\bar {1}}}$	1	${\displaystyle P{\bar {1}}}$	${\displaystyle C_{i}}$
Моноклинная система
3-5	${\displaystyle 2}$	3	${\displaystyle P2}$ ${\displaystyle P2_{1}}$ ${\displaystyle C2}$	${\displaystyle C_{2}}$	Внешне человек обладает ${\displaystyle C_{s}}$ симметрией.
6-9	${\displaystyle m}$	4	${\displaystyle Pm}$ ${\displaystyle Pc}$ ${\displaystyle Cm}$ ${\displaystyle Cc}$	${\displaystyle C_{s}}$
10-15	${\displaystyle 2/m}$	6	${\displaystyle P2/m}$ ${\displaystyle P2_{1}/m}$ ${\displaystyle C2/m}$ ${\displaystyle P2/c}$ ${\displaystyle P2_{1}/c}$ ${\displaystyle C2/c}$	${\displaystyle C_{2h}}$
Ромбическая система
16-24	${\displaystyle 222}$	9	${\displaystyle P222}$ ${\displaystyle P222_{1}}$ ${\displaystyle P2_{1}2_{1}2}$ ${\displaystyle P2_{1}2_{1}2_{1}}$ ${\displaystyle C222_{1}}$ ${\displaystyle C222}$ ${\displaystyle F222}$ ${\displaystyle I222}$ ${\displaystyle I2_{1}2_{1}2_{1}}$	${\displaystyle D_{2}}$	Рельсы обладают ${\displaystyle C_{2v}}$ симметрией.
25 - 46	${\displaystyle mm2}$	22	${\displaystyle Pmm2}$ ${\displaystyle Pmc2_{1}}$ ${\displaystyle Pcc2}$ ${\displaystyle Pma2}$ ${\displaystyle Pca2_{1}}$ ${\displaystyle Pnc2}$ ${\displaystyle Pmn2_{1}}$ ${\displaystyle Pba2}$ ${\displaystyle Pna2_{1}}$ ${\displaystyle Pnn2}$ ${\displaystyle Cmm2}$ ${\displaystyle Cmc2_{1}}$ ${\displaystyle Ccc2}$ ${\displaystyle Amm2}$ ${\displaystyle Aem2}$ ${\displaystyle Ama2}$ ${\displaystyle Aea2}$ ${\displaystyle Fmm2}$ ${\displaystyle Fdd2}$ ${\displaystyle Imm2}$ ${\displaystyle Iba2}$ ${\displaystyle Ima2}$	${\displaystyle C_{2v}}$
47-74	${\displaystyle mmm}$	28	${\displaystyle Pmmm}$ ${\displaystyle Pnnn}$ ${\displaystyle Pccm}$ ${\displaystyle Pban}$ ${\displaystyle Pmma}$ ${\displaystyle Pnna}$ ${\displaystyle Pmna}$ ${\displaystyle Pcca}$ ${\displaystyle Pbam}$ ${\displaystyle Pccn}$ ${\displaystyle Pbcm}$ ${\displaystyle Pnnm}$ ${\displaystyle Pmmn}$ ${\displaystyle Pbcn}$ ${\displaystyle Pbca}$ ${\displaystyle Pnma}$ ${\displaystyle Cmcm}$ ${\displaystyle Cmce}$ ${\displaystyle Cmmm}$ ${\displaystyle Cccm}$ ${\displaystyle Cmme}$ ${\displaystyle Ccce}$ ${\displaystyle Fmmm}$ ${\displaystyle Fddd}$ ${\displaystyle Immm}$ ${\displaystyle Ibam}$ ${\displaystyle Ibca}$ ${\displaystyle Imma}$	${\displaystyle D_{2h}}$
Тетрагональная система
75-80	${\displaystyle 4}$	6	${\displaystyle P4}$ ${\displaystyle P4_{1}}$ ${\displaystyle P4_{2}}$ ${\displaystyle P4_{3}}$ ${\displaystyle I4}$ ${\displaystyle I4_{1}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle C_{4}}$ Симметрия.
81-82	${\displaystyle {\bar {4}}}$	2	${\displaystyle P{\bar {4}}}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}}$	${\displaystyle S_{4}}$
83-88	${\displaystyle 4/m}$	6	${\displaystyle P4/m}$ ${\displaystyle P4_{2}/m}$ ${\displaystyle P4/n}$ ${\displaystyle P4_{2}/n}$ ${\displaystyle I4/m}$ ${\displaystyle I4_{1}/a}$	${\displaystyle C_{4h}}$
89-98	${\displaystyle 422}$	10	${\displaystyle P422}$ ${\displaystyle P42_{1}2}$ ${\displaystyle P4_{1}22}$ ${\displaystyle P4_{1}2_{1}2}$ ${\displaystyle P4_{2}22}$ ${\displaystyle P4_{2}2_{1}2}$ ${\displaystyle P4_{3}22}$ ${\displaystyle P4_{3}2_{1}2}$ ${\displaystyle I422}$ ${\displaystyle I4_{1}22}$	${\displaystyle D_{4}}$
99-110	${\displaystyle 4mm}$	12	${\displaystyle P4mm}$ ${\displaystyle P4bm}$ ${\displaystyle P4_{2}cm}$ ${\displaystyle P4_{2}nm}$ ${\displaystyle P4cc}$ ${\displaystyle P4nc}$ ${\displaystyle P4_{2}mc}$ ${\displaystyle P4_{2}bc}$ ${\displaystyle I4mm}$ ${\displaystyle I4cm}$ ${\displaystyle I4_{1}md}$ ${\displaystyle I4_{1}cd}$	${\displaystyle C_{4v}}$
111-122	${\displaystyle {\bar {4}}2m}$	12	${\displaystyle P{\bar {4}}2m}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}2c}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}2_{1}m}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}2_{1}c}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}m2}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}c2}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}b2}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}n2}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}m2}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}c2}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}2m}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}2d}$	${\displaystyle D_{2d}}$
123-142	${\displaystyle 4/mmm}$	20	${\displaystyle P4/mmm}$ ${\displaystyle P4/mcc}$ ${\displaystyle P4/nbm}$ ${\displaystyle P4/nnc}$ ${\displaystyle P4/mbm}$ ${\displaystyle P4/mnc}$ ${\displaystyle P4/nmm}$ ${\displaystyle P4/ncc}$ ${\displaystyle P4_{2}/mmc}$ ${\displaystyle P4_{2}/mcm}$ ${\displaystyle P4_{2}/nbc}$ ${\displaystyle P4_{2}/nnm}$ ${\displaystyle P4_{2}/mbc}$ ${\displaystyle P4_{2}/mnm}$ ${\displaystyle P4_{2}/nmc}$ ${\displaystyle P4_{2}/ncm}$ ${\displaystyle I4/mmm}$ ${\displaystyle I4/mcm}$ ${\displaystyle I4_{1}/amd}$ ${\displaystyle I4_{1}/acd}$	${\displaystyle D_{4h}}$	Кристаллическая решётка циркона имеет ${\displaystyle I4_{1}/amd}$ симметрию.
Тригональная система
143-146	${\displaystyle 3}$	4	${\displaystyle P3}$ ${\displaystyle P3_{1}}$ ${\displaystyle P3_{2}}$ ${\displaystyle R3}$	${\displaystyle C_{3}}$	Молекула боразана обладает ${\displaystyle C_{3v}}$ симметрией.
147-148	${\displaystyle {\bar {3}}}$	2	${\displaystyle P{\bar {3}}}$ ${\displaystyle R{\bar {3}}}$	${\displaystyle C_{3i}}$
149-155	${\displaystyle 32}$	7	${\displaystyle P312}$ ${\displaystyle P321}$ ${\displaystyle P3_{1}12}$ ${\displaystyle P3_{1}21}$ ${\displaystyle P3_{2}12}$ ${\displaystyle P3_{2}21}$ ${\displaystyle R32}$	${\displaystyle D_{3}}$
156-161	${\displaystyle 3m}$	6	${\displaystyle P3m1}$ ${\displaystyle P31m}$ ${\displaystyle P3c1}$ ${\displaystyle P31c}$ ${\displaystyle R3m}$ ${\displaystyle R3c}$	${\displaystyle C_{3v}}$
162-167	${\displaystyle {\bar {3}}m}$	6	${\displaystyle P{\bar {3}}1m}$ ${\displaystyle P{\bar {3}}1c}$ ${\displaystyle P{\bar {3}}m1}$ ${\displaystyle P{\bar {3}}c1}$ ${\displaystyle R{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle R{\bar {3}}c}$	${\displaystyle D_{3d}}$
Гексагональная система
168-173	${\displaystyle 6}$	6	${\displaystyle P6}$ ${\displaystyle P6_{1}}$ ${\displaystyle P6_{5}}$ ${\displaystyle P6_{2}}$ ${\displaystyle P6_{4}}$ ${\displaystyle P6_{3}}$	${\displaystyle C_{6}}$	Пчелиные соты обладают ${\displaystyle C_{6h}}$ симметрией.
174	${\displaystyle {\bar {6}}}$	1	${\displaystyle P{\bar {6}}}$	${\displaystyle C_{3h}}$
175-176	${\displaystyle 6/m}$	2	${\displaystyle P6/m}$ ${\displaystyle P6_{3}/m}$	${\displaystyle C_{6h}}$
177-182	${\displaystyle 622}$	6	${\displaystyle P622}$ ${\displaystyle P6_{1}22}$ ${\displaystyle P6_{5}22}$ ${\displaystyle P6_{2}22}$ ${\displaystyle P6_{4}22}$ ${\displaystyle P6_{3}22}$	${\displaystyle D_{6}}$	Нанотрубка может обладать ${\displaystyle D_{6h}}$ симметрией.
183-186	${\displaystyle 6mm}$	4	${\displaystyle P6mm}$ ${\displaystyle P6cc}$ ${\displaystyle P6_{3}cm}$ ${\displaystyle P6_{3}mc}$	${\displaystyle C_{6v}}$
187-190	${\displaystyle {\bar {6}}m2}$	4	${\displaystyle P{\bar {6}}m2}$ ${\displaystyle P{\bar {6}}c2}$ ${\displaystyle P{\bar {6}}2m}$ ${\displaystyle P{\bar {6}}2c}$	${\displaystyle D_{3h}}$
191-194	${\displaystyle 6/mmm}$	4	${\displaystyle P6/mmm}$ ${\displaystyle P6/mcc}$ ${\displaystyle P6_{3}/mcm}$ ${\displaystyle P6_{3}/mmc}$	${\displaystyle D_{6h}}$
Кубическая система
195-199	${\displaystyle 23}$	5	${\displaystyle P23}$ ${\displaystyle F23}$ ${\displaystyle I23}$ ${\displaystyle P2_{1}3}$ ${\displaystyle I2_{1}3}$	${\displaystyle T}$	Структура алмаза имеет ${\displaystyle Fd{\bar {3}}m}$ симметрию.
200-206	${\displaystyle m{\bar {3}}}$	7	${\displaystyle Pm{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Pn{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Fm{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Fd{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Im{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Pa{\bar {3}}}$ ${\displaystyle Ia{\bar {3}}}$	${\displaystyle T_{h}}$
207-214	${\displaystyle 432}$	8	${\displaystyle P432}$ ${\displaystyle P4_{2}32}$ ${\displaystyle F432}$ ${\displaystyle F4_{1}32}$ ${\displaystyle I432}$ ${\displaystyle P4_{3}32}$ ${\displaystyle P4_{1}32}$ ${\displaystyle I4_{1}32}$	${\displaystyle O}$
215-220	${\displaystyle {\bar {4}}3m}$	6	${\displaystyle P{\bar {4}}3m}$ ${\displaystyle F{\bar {4}}3m}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}3m}$ ${\displaystyle P{\bar {4}}3n}$ ${\displaystyle F{\bar {4}}3c}$ ${\displaystyle I{\bar {4}}3d}$	${\displaystyle T_{d}}$
221-230	${\displaystyle m{\bar {3}}m}$	10	${\displaystyle Pm{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle Pn{\bar {3}}n}$ ${\displaystyle Pm{\bar {3}}n}$ ${\displaystyle Pn{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle Fm{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle Fm{\bar {3}}c}$ ${\displaystyle Fd{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle Fd{\bar {3}}c}$ ${\displaystyle Im{\bar {3}}m}$ ${\displaystyle Ia{\bar {3}}d}$	${\displaystyle O_{h}}$

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| .. 

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

• Кристаллографическая группа
• 11 классов Лауэ

• International Tables for Crystallography. Volume A: Space-group symmetry / Edited by M. I. Aroyo. — International Union of Crystallography, 2016. — ISBN 978-0-470-97423-0.

• Пособие по пространственным группам
• Изображения всех 230 групп