Супераддитивность

Супераддитивность — свойство числовой последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ (${\displaystyle n\geqslant 1}$), при котором каждый элемент ${\displaystyle (n+m)}$-й элемент не меньше суммы ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle a_{m}}$ для любых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle a_{n+m}\geqslant a_{n}+a_{m}}$.

Понятие введено в связи с леммой Фекете^[1]: для любой супераддитивной последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ предел ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ существует и равен супремуму ${\displaystyle \sup a_{n}/n}$ (предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$).

Свойство может быть распространено на функции: ${\displaystyle f}$ супераддитивна, если ${\displaystyle f(x+y)\geqslant f(x)+f(y)}$ для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из области определения. Например, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат ${\displaystyle x+y}$ всегда больше или равен сумме квадратов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ для любых неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Полуаддитивность (субаддитивность) — двойственное понятие, результаты о супераддитивных функциях и последовательностях переносятся и на полуаддитивные объекты, в частности, аналог леммы Фекете верен и для полуаддитивных последовательностей. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$. Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность^[2][3].

Если ${\displaystyle f}$ — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то ${\displaystyle f(0)\leqslant 0}$ (следует из ${\displaystyle f(x)\leqslant f(x+y)-f(y)}$).

Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы, то есть если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то ${\displaystyle \det(A+B)\geqslant \det(A)+\det(B)}$. Это следует из теоремы Минковского об определителе, которая в общем случае утверждает, что ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$ является супераддитивной (то есть вогнутой)^[4] для неотрицательных эрмитовых матриц размера ${\displaystyle n}$: если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geqslant \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}$ .

Функция взаимной информации супеаддитивна.

В 2009 году доказано^[5], что гамма-функция Адамара^[англ.] ${\displaystyle H(x)}$ супераддитивна для всех действительных чисел ${\displaystyle x,y\geqslant 1{,}5031}$.

• György Polya and Gábor Szegö. Problems and theorems in analysis, volume 1. — Springer-Verlag, New York, 1976. — ISBN 0-387-05672-6.
• Эта статья включает в себя текст с сайта PlanetMath, который опубликован под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License.