Сфера Эвальда

Сфера Эвальда — это геометрическая конструкция, используемая в кристаллографии и дифракции, позволяющая найти направления на дифракционные максимумы.

Концепция была придумана Паулем Петером Эвальдом, немецким физиком и кристаллографом.^[1] Сам Эвальд говорил о сфере отражения.^[2]

Сферу Эвальда можно использовать для нахождения максимального разрешения, доступного для данной длины волны рентгеновского излучения и размеров элементарной ячейки. Модель также можно упростить до двумерной модели "круга Эвальда", которая также будет сферой Эвальда.

Построение может быть применимо не только в рентгеноструктурном анализе, но и для дифракции волн любого типа на периодических структурах. Волны, переотраженные от элементов периодической структуры интерферируют конструктивно и образуют максимум в заданном направлении тогда, когда выполняются условия Лауэ^[3][4]:

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {a} =(\mathbf {k} -\mathbf {k_{0}} )\cdot \mathbf {a} =2\pi m,}$

где ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — базисный вектор прямой решетки, ${\displaystyle \mathbf {k_{0}} }$ — волновой вектор падающей волны, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — волновой вектор дифрагированной волны, m — целое число.

В трехмерном случае, условие можно переписать как

${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {k} -\mathbf {k_{0}} =m\mathbf {q} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {q} }$ — вектор обратной решетки. Эти формулы можно проиллюстрировать простым графическим построением, аналогичным иллюстрации направлению на порядки для дифракционной решетки.

Инструкция для построения сферы Эвальда ^[5] :

1. Выберите систему отсчета и постройте обратную решетку. При этом один из узлов обратной решетки находится в центре системы отсчета O.

2. Нарисуйте ${\displaystyle \mathbf {k} }$-вектор падающей волны так, чтобы его конец был в центре системы отсчета.

3. Постройте сферу радиуса ${\displaystyle |k|=2\pi /\lambda }$ с центром в начале ${\displaystyle \mathbf {k} }$-вектора A, сама сфера проходит через начало координат O.

4. Проверьте, пересекается ли сфера еще с каким-либо узлом обратной решетки.

5. Если да, то проведите отрезок из центра сферы A в точку пересечения с узлом обратной решетки, это и будет волновой вектор дифрагированной волны.

6. Завершите построение векторов всех порядков дифракции таким же образом.

С помощью построения можно проверить, что условие Брэгга — Вульфа также выполняется.

В случае диапазона длин волн, возбуждаются все порядки, которые попадают между сферами, соответствующими минимальной и максимальной длине волны.

• Дифракционная решётка
• Рентгеноструктурный анализ
• Дифракция Брэгга
• Условие Брэгга — Вульфа

• Вращение образца
• Кристаллография поверхности
• Видео-лекция Ewald Sphere
• Иллюстрация обратной решетки