Тензорное расслоение

Тензорное расслоение типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ на дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M}$ — векторное расслоение ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ над ${\displaystyle M}$, ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство ${\displaystyle T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})}$ тензоров типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, в котором группа ${\displaystyle GL(n,\;\mathbb {R} )}$ действует при помощи тензорного представления. Например, ${\displaystyle T^{1,\;0}(M)}$ совпадает с касательным расслоением ${\displaystyle T(M)}$ над ${\displaystyle M}$, a ${\displaystyle T^{0,\;1}(M)}$ — с кокасательным расслоением ${\displaystyle T(M)^{*}}$.

В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:

${\displaystyle T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,T(M)^{*}.}$

Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа ${\displaystyle (p,\;q)}$, которые называются тензорными полями типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на ${\displaystyle M}$ — это гладкое сечение расслоения ${\displaystyle T^{0,\;2}(M)}$, значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.

Гладкие сечения расслоения ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ образуют модуль ${\displaystyle D^{p,\;q}(M)}$ над алгеброй ${\displaystyle F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)}$ гладких функций на ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle M}$ — паракомпактное многообразие, то

${\displaystyle D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},}$

где ${\displaystyle D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)}$ — модуль гладких векторных полей, ${\displaystyle D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)}$ — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над ${\displaystyle F^{\infty }(M)}$.

В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на ${\displaystyle M}$.

• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М.: Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика). — ISBN 5-88688-076-3..