Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности ).[ 1]
Если ограниченный линейный оператор
A
{\displaystyle A}
банахово пространство
E
{\displaystyle E}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
взаимно однозначно , то существует линейный ограниченный оператор
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
обратный оператору
A
{\displaystyle A}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
{\displaystyle E}
[ 2]
Пусть
E
,
E
1
,
E
2
{\displaystyle E,E_{1},E_{2}}
A
:
E
→
E
1
{\displaystyle A\colon E\to E_{1}}
B
:
E
→
E
2
{\displaystyle B\colon E\to E_{2}}
линейные непрерывные операторы , причем
B
{\displaystyle B}
E
{\displaystyle E}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
Im
B
=
E
2
{\displaystyle {\mbox{Im}}\,B=E_{2}}
Ker
A
⊃
Ker
B
,
{\displaystyle {\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,}
то существует такой линейный непрерывный оператор
C
:
E
2
→
E
1
{\displaystyle C\colon E_{2}\to E_{1}}
A
=
C
B
{\displaystyle A=CB}
Здесь
Ker
A
{\displaystyle {\mbox{Ker}}\,A}
ядро ,
Im
A
{\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}
образ оператора
A
{\displaystyle A}
[ 4]
Ker
B
→
E
→
B
E
2
⋂
|
|
↓
C
Ker
A
→
E
→
A
E
1
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}}
↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз. ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965 , с. 159.↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976 , с. 227.↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976 , с. 228.
Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. М. , 1976.Люстерник Л. А. , Соболев В. И. М. : Наука, 1965. — 520 с.Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
