Теорема Виртингера

Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объёмы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.

Формулировка

Пусть $M\subset C^{n}$ — многообразие класса $C^{1}$ чётной вещественной размерности $2m$ . Объём этого многообразия:

VolM\geqslant {\frac {1}{m!}}\int _{M}\varphi _{0}^{m}

,

причём равенство здесь достигается в том и только том случае, когда $M$ — комплексное $m$ -мерное многообразие.

Здесь дифференциальная форма $\varphi _{0}={\frac {i}{2}}\sum _{\nu =1}^{n}dz_{\nu }\wedge {\bar {dz_{\nu }}}={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\left|z\right|^{2}$ , где $\left|z\right|^{2}=\sum z_{\nu }{\bar {z_{\nu }}}$ — евклидов квадрат модуля.