Теорема Каулинга

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле^[1].

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

${\displaystyle B={\frac {1}{r^{3}}}}$

Пусть поле линейно растет с увеличением R

${\displaystyle (\mathrm {rot} {\vec {B}})_{\varphi }={\frac {\partial B_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\neq 0,\ {\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=2\pi R{\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}}$

Пусть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0}$, тогда ${\displaystyle v_{z}B_{\varphi }-v_{\varphi }B_{z}\neq 0}$, но на линии O и ${\displaystyle v_{\varphi }}$, и ${\displaystyle B_{z}}$ равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0}$. Тогда имеем

${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}{\vec {E}}\,{\vec {dl}}=\sigma \int \mathrm {rot} {\vec {E}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}}$

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

${\displaystyle \Phi =\int \limits _{0}^{R}2\pi rB_{z}\,dr}$

Таким образом, имеем неравенство

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dt}}\neq 0}$

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

${\displaystyle B_{\varphi }\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}}$

где

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}}$ — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

• Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
• ABC-динамо
• Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.

• Число Каулинга

Это заготовка статьи по физике. Помогите Википедии, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Оформить статью по правилам. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.