Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Рассмотрим пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ будем обозначать через ${\displaystyle (x,t)=(x_{1},...,x_{n},t)}$, а точку, принадлежащую ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, через ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$. Обозначим оператор частного дифференцирования

${\displaystyle L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{\nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}.}$

Предположим, что коэффициенты оператора ${\displaystyle L}$ определены в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат в пространстве переменных ${\displaystyle (x,t)}$ и являются аналитическими функциями. Пусть функция ${\displaystyle f}$ также аналитична в ${\displaystyle U}$. Пусть вектор ${\displaystyle \Psi }$ начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат ${\displaystyle x}$ — пространства. Тогда существуют окрестность ${\displaystyle W}$ начала координат и единственная аналитическая функция ${\displaystyle u(x,t)}$, определённая в ${\displaystyle W}$, для которой

${\displaystyle Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m-1).\qquad (1)}$

Положим

${\displaystyle {\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x).}$

Тогда из ${\displaystyle (1)}$ вытекает, что

${\displaystyle L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x)\right].}$

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для ${\displaystyle u(x,t)}$ равны нулю. Перепишем ${\displaystyle (1)}$ в виде

${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j}(x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t),\qquad (2)}$

где ${\displaystyle {\alpha }_{j}(x,t;{\xi })}$ — полином по ${\displaystyle \xi }$ степени ${\displaystyle m-j}$, коэффициенты которого аналитичны в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат. Легко видеть, что коэффициенты ${\displaystyle c_{\nu ,j}}$ разложения в ряд Тейлора

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)}$

определяются однозначно уравнением ${\displaystyle (2)}$ и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда ${\displaystyle (3)}$.

Для доказательства сходимости ряда ${\displaystyle (3)}$ используются мажорантные ряды и полиномы. Функция ${\displaystyle F(x,t)}$ называется мажорантным рядом для ${\displaystyle f(x,t)}$ в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты ${\displaystyle C_{\mu ,j}}$ её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов ${\displaystyle c_{\mu ,j}}$ разложения функции ${\displaystyle f(x,t)}$ в ряд Тейлора, то есть ${\displaystyle C_{\mu ,j}\geqslant |c_{\mu ,j}|}$.

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

• Задача Коши
• Теорема Хольмгрена

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
• О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Оформить список литературы. Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.