Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теорема Лебе́га о мажори́руемой сходимости — утверждение теории меры, согласно которому если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Точная формулировка: если фиксировано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ и ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и ${\displaystyle f}$ — измеримые функции на ${\displaystyle A\subseteq X}$, причём ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ почти всюду на ${\displaystyle A}$, тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на ${\displaystyle A}$ функция ${\displaystyle g}$ такая, что любая функция ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ почти всюду, то функции ${\displaystyle f_{n},f}$ интегрируемы и:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)}$.

Условие мажорированности последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ интегрируемой функцией ${\displaystyle g}$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример: для ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle [0,\;1]}$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега на том же пространстве и функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$, равной ${\displaystyle n}$ при ${\textstyle 0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}}$ или нулю в противном случае:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n,&0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}\\0,&{\dfrac {1}{n}}\leqslant x\leqslant 1\end{cases}}}$,

последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx)}$.

Теорема Фату — Лебега^[англ.] — цепь неравенств без условия сходимости почти всюду, обращающаяся утверждение теоремы Лебега при сходимости почти всюду.

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$, теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: ${\displaystyle X_{n}\to X}$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина ${\displaystyle Y}$, такая что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y}$ почти наверное. Тогда случайные величины ${\displaystyle X_{n},\;X}$ интегрируемы и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X}$^[1].

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — М.: Наука, 1976. — С. 302—303.