Теорема Леви о непрерывности

Теорема Леви́ о непрерывности (о сходимости) — результат теории вероятностей, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин с их сходимостью по распределению. Установлена Полем Леви.

Для последовательности случайных величин ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ (не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве) с характеристическими функциями ${\displaystyle \varphi _{X_{n}}(t)}$, и случайной величины ${\displaystyle X}$ с характеристической функцией ${\displaystyle \varphi _{X}}$ эквивалентны следующие утверждения:

• последовательность ${\displaystyle (X_{n})}$ сходится к ${\displaystyle X}$ по распределению: ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$;
• последовательность ${\displaystyle (\varphi _{X_{n}})}$ поточечно сходится к ${\displaystyle \varphi _{X}}$.

Кроме того, если ${\displaystyle (\varphi _{X_{n}})}$ поточечно сходится к непрерывной в нуле функции ${\displaystyle \varphi }$, то ${\displaystyle \varphi }$ является функцией некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$, к которой по распределению сходится ${\displaystyle (X_{n})}$^[1].

Метод характеристических функций — способ теоретико-вероятностного доказательства, использующий возможность вывести сходимость по распределению к случайной величине из поточечной сходимости характеристических функций; одним из примеров его использования является доказательство классической центральной предельной теоремы.

• Биллингсли П.^[англ.]. Сходимость вероятностых мер. — М.: Наука, 1977. — 352 с.
• Williams D.^[англ.]. Probability with Martingales. — Cambridge: Cambridge University Press, 1991. — ISBN 0-521-40605-6.