Теорема Мура о факторпространстве

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана Робертом Муром в 1925 году.

Пусть ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ на хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$. Предположим, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$, а также его дополнение ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\}}$ связны. Тогда ${\displaystyle X}$ гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$, более того отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ есть предел гомеоморфизмов ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$.

Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$. Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X}$ задаёт отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$, определяемое как

${\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y).}$

Классы эквивалентности ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\}}$ образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если ${\displaystyle x_{n}\to x}$, ${\displaystyle y_{n}\to y}$ и ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n}}$ для любого ${\displaystyle n}$, тогда ${\displaystyle x\sim y}$.

• Если ${\displaystyle \sim }$ — отношение эквивалентности на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle [x]}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\backslash [x]}$ связны, то фактор пространство ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}/\sim }$ гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$.

В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция ${\displaystyle f\colon M\to X}$ из многообразия ${\displaystyle M}$ на хаусдорфово пространство ${\displaystyle X}$ должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любого открытого множества ${\displaystyle U}$, содержащего прообраз ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$, можно найти замкнутое множество ${\displaystyle B}$, гомеоморфное шару, такое что ${\displaystyle f^{-1}\{x\}\subset B\subset U}$.

• R. L. Moore. Concerning upper-semicontinuous collections of continua (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1925. — Vol. 25. — P. 416–428.
• Daverman, Robert J. Decompositions of manifolds. — Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. — xii+317 с. — (Pure and Applied Mathematics, 124). — ISBN 978-0-8218-4372-7.