Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице

Теорема Мура — Пенроуза о псевдообратной матрице — утверждение о существовании единственной псевдообратной матрицы для любой матрицы. Доказано независимо Элиакимом Муром в 1920 году и Роджером Пенроузом в 1955 году.

Доказательство утверждения содержит конструктивную процедуру получения такой матрицы. Так, если для данной матрицы ${\displaystyle A}$ её ранг ${\displaystyle {\rm {rank}}A=r}$, то ${\displaystyle A}$ можно представить в виде произведения матриц ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ размера ${\displaystyle m\times r}$ и ${\displaystyle r\times n}$ соответственно, при этом ${\displaystyle ImA=ImC}$ и ${\displaystyle ImA^{*}=ImD^{*}}$. Очевидно,^{[уточнить]} что матрицы ${\displaystyle C^{*}C}$ и ${\displaystyle DD^{*}}$ — невырожденные. Положив ${\displaystyle X=D^{*}(DD^{*})^{-1}(C^{*}C)^{-1}C^{*}}$, имеет место ${\displaystyle AX=C(C^{*}C)^{-1}C^{*}}$ и ${\displaystyle XA=D^{*}(DD^{*})^{-1}D}$, то есть матрицы ${\displaystyle AX}$ и ${\displaystyle XA}$ являются эрмитовыми проекторами на ${\displaystyle ImC=ImA}$ и ${\displaystyle ImD^{*}=ImA^{*}}$ соответственно. Следовательно, ${\displaystyle X}$ — псевдообратная матрица для матрицы ${\displaystyle A}$. Единственность построенной таким образом матрицы показывается следующим образом: если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ — псевдообратные матрицы для матрицы ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle AX_{1}}$ и ${\displaystyle AX_{2}}$ — эрмитовы проекторы на ${\displaystyle ImA}$, поэтому ${\displaystyle AX_{1}=AX_{2}}$; аналогично, ${\displaystyle X_{1}A=X_{2}A}$, и следовательно ${\displaystyle X_{1}=X_{1}(AX_{2})=(X_{1}A)X_{2}=X_{2}AX_{2}=X_{2}}$^[1].

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Для улучшения этой статьи желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Оформить статью по правилам. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.