Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$

где

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right)}$ — плотность энергии,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная постоянная,

${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, S — вектор Пойнтинга,

J — плотность тока, E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\,dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \,d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \,dV,}$

где ${\displaystyle \partial V}$ — поверхность, ограничивающая объём ${\displaystyle V}$.

В технической литературе теорема обычно записывается так (${\displaystyle u}$ — плотности энергии):

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}\right)}$ — изменение плотности энергии электрического поля, ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}$ — изменение плотности энергии магнитного поля и ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда — вакуум (μ = 1, ε = 1); для общего случая с произвольной средой нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, получим

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла — Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {E} }$, получим

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Вычитая первое из второго, получим

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Наконец,

${\displaystyle -\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Поскольку вектор Пойнтинга ${\displaystyle \mathbf {S} }$ определяется как

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

это равносильно

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}$

Механическая энергия описанной выше теоремы

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

${\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta {\big (}\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t){\big )},}$

${\displaystyle \mathbf {S_{m}} }$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

${\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta {\big (}\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t){\big )}.}$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u_{e}+u_{m})+\nabla \cdot (\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m})=0.}$

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока ${\displaystyle \mathbf {S} \sim \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ можно выбрать форму Авраама ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$, форму Минковского ${\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }$, или какую-либо другую.

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.