Теорема Флоке

Теорема Флоке, в русскоязычной литературе также иногда Теорема Флоке-Ляпунова — теорема о решении системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке описывает структуру фундаментальных матриц линейных систем с непрерывными периодическими коэффициентами и вводит некоторые числовые характеристики таких систем, аналогичные по своим свойствам корням характеристического уравнения систем с постоянными коэффициентами.^[1] Доказана Гастоном Флоке в 1881-1883 годах. Её развитием является теорема Блоха.

Система уравнений вида

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)}$

с периодическими коэффициентами вида

${\displaystyle A(t+tau)=A(t)}$

имеет решение в виде

${\displaystyle x(t)=F(t)exp(t,K)}$

где ${\displaystyle F(t)}$ — некая периодическая матрица, ${\displaystyle K}$ — некая постоянная матрица той же размерности, что и исходная матрица коэффициентов ${\displaystyle A(t)}$. При этом матрица K не явялется единственной, и обе матрицы ${\displaystyle F(t)}$ и K могут быть мнимыми даже в случае вещественных исходных матриц.

Теорема Флоке нашла применение в области физики твёрдого тела и в теории фазированных антенных решеток.

• Инженерия Флоке

• Математическая энциклопедия
• Лерман Л.М. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород, 2012.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 719 с.