Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.

Пусть ${\displaystyle A}$ — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение ${\displaystyle r}$ является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
• соответствующий ${\displaystyle r}$ собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
• собственное значение ${\displaystyle r}$ удовлетворяет неравенствам

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

• Оператор Перрона — Фробениуса

• Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices, Mathematische Annalen, 64 (2): 248–263, doi:10.1007/BF01449896
• Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456–477
• Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471–476
• Frobenius, Georg (1909), Über Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514–518
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

В другом языковом разделе есть более полная статья Perron–Frobenius theorem (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода