Теорема Шпильрайна

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Любое отношение частичного порядка ${\displaystyle \leqslant }$, заданное на некотором множестве ${\displaystyle X}$, может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы ${\displaystyle G}$, когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle a_{i}\neq e}$) можно так подобрать знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$), что

${\displaystyle P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$

Здесь

${\displaystyle S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})}$ — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$,

${\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\}}$ — положительный конус отношения ${\displaystyle \leqslant }$.

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального, бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из ${\displaystyle a\notin P}$ следует, что для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle a_{i}\neq e}$) существуют такие подходящие знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$), что

${\displaystyle P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \leqslant }$ изолирован, то есть из ${\displaystyle a^{n}\geqslant e}$ для некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$ следует ${\displaystyle a\geqslant e}$.

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

• Шпильрайн, Е. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel, Fundamenta Mathematicae, 16: 386–389, ISSN 0016-2736 Архивная копия от 6 февраля 2012 на Wayback Machine.
• Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), Частично упорядоченные множества, American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, ISSN 0002-9327, MR: 0004862.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.

• Частично упорядоченное множество