Теорема Штольца

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца^[1]. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.

Пусть ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел, причём ${\displaystyle b_{n}}$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$,

то существует и предел

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$,

причём эти пределы равны.

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу^[2], другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова^[3].

Допустим сначала, что предел равен конечному числу ${\displaystyle L}$, тогда для любого заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N>0}$, что при ${\displaystyle n>N}$ будет иметь место:

${\displaystyle L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}<L+{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Значит, для любого ${\displaystyle n>N}$ все дроби:

${\displaystyle {\frac {a_{N+1}-a_{N}}{b_{N+1}-b_{N}}},{\frac {a_{N+2}-a_{N+1}}{b_{N+2}-b_{N+1}}},...,{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности ${\displaystyle b_{n}}$), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

${\displaystyle {\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}}$,

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при ${\displaystyle n>N}$:

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)}$,

откуда имеем

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|}$.

Второе слагаемое при ${\displaystyle n>N}$ становится меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, первое слагаемое также станет меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, при ${\displaystyle n>M}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$. Если взять ${\displaystyle M>N}$, то при ${\displaystyle n>M}$ будем иметь

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon }$,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=+\infty }$,

из этого следует, что при достаточно больших ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}>b_{n}-b_{n-1}}$ и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=+\infty }$,

причём последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению ${\displaystyle b_{n} \over a_{n}}$:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=0}$,

откуда и следует, что:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$.

Если предел равен ${\displaystyle -\infty }$, то нужно рассмотреть последовательность ${\displaystyle \{-a_{n}\}}$.

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ сходится к числу ${\displaystyle a}$, то последовательность средних арифметических ${\displaystyle {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}}$ сходится к этому же числу.

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — С. 78—79.
• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 43—44. — ISBN 5-06-003596-4.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.