Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (n)}$ (количество простых чисел на отрезке ${\displaystyle [1;n]}$) растёт с увеличением ${\displaystyle n}$ как ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$, то есть:

${\displaystyle {\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1}$, когда ${\displaystyle n\to \infty .}$

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до ${\displaystyle n}$ вероятность оказаться простым примерно равна ${\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}$.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения ${\displaystyle k}$-го простого числа ${\displaystyle p_{k}}$: она утверждает, что

${\displaystyle p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty }$

(здесь и далее запись ${\displaystyle f\sim g}$ означает, что ${\displaystyle f/g\to 1}$ когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно^[1]

${\displaystyle \pi (n)=\operatorname {Li} (n)+O({\sqrt {n}}\ln n)}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»^[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B}}}$

где ${\displaystyle B\approx 1{,}08366.}$ Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx}$

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций ${\displaystyle \pi (x)}$ и ${\displaystyle x/\ln(x)}$, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает^[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad }$

(1)

заключены в пределах ${\displaystyle 0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555}$, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и де ла Валле Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p,\qquad \qquad (*)}$

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geq 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка ${\displaystyle [1,n]}$, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы ${\displaystyle \ln p}$ примерно равны ${\displaystyle \ln x}$, и функция ${\displaystyle \psi (x)}$ асимптотически ведёт себя так же, как ${\displaystyle \pi (x)\cdot \ln x}$.

Как следует из тождества Эйлера,

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

${\displaystyle \sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.}$

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции ${\displaystyle a^{s}/s}$ равен ${\displaystyle 2\pi i}$ при ${\displaystyle a>1}$ и 0 при ${\displaystyle 0<a<1}$. Поэтому, умножение правой и левой части на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s}$ и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по ${\displaystyle ds}$ оставляет в левой части в точности сумму ${\displaystyle \Lambda (n)}$ с ${\displaystyle n\leqslant x}$. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке ${\displaystyle s=1}$ — полюс первого порядка с вычетом, равным ${\displaystyle (-1)}$.

Строгая реализация этой программы позволяет получить^[4] явную формула Римана^{[англ.][5]}:

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatorname {Re} (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)}$

Суммирование тут ведётся по нулям ${\displaystyle \rho }$ дзета-функции, лежащим в критической полосе ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$, слагаемое ${\displaystyle -\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}}$ отвечает полюсу ${\displaystyle {\frac {x^{s}}{s}}}$ в нуле, а слагаемое ${\displaystyle -\log(1-x^{-2})/2}$ — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции ${\displaystyle s=-2,-4,-6,\dots }$.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем ${\displaystyle x}$). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения ${\displaystyle \psi (x)}$ от ${\displaystyle x}$, и, соответственно, на отклонения ${\displaystyle \pi (x)}$ от ${\displaystyle x/\ln x}$.

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

${\displaystyle \ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p}$

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

${\displaystyle \ln =\Lambda *\mathbf {1} ,}$

где ${\displaystyle \ln }$ и ${\displaystyle \mathbf {1} }$ — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести ${\displaystyle \mathbf {1} }$ в правую часть:

${\displaystyle \Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)}$

где ${\displaystyle \mu }$ — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция ${\displaystyle \psi }$. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме ${\displaystyle \sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),}$ где ${\displaystyle L}$ — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать ${\displaystyle L(n)}$ как

${\displaystyle L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид ${\displaystyle \sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)}$ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, ${\displaystyle F(x)=x-\gamma -1}$), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

${\displaystyle \Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).}$

Поскольку ${\displaystyle F(x)\sim x,}$ остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид ${\displaystyle o(x)}$. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения ${\displaystyle M(x)=o(x),}$ где ${\displaystyle M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)}$ — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции ${\displaystyle 1/n}$.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

${\displaystyle \mu '=-\mu *\Lambda ,}$

где ${\displaystyle f'(n)=f(n)\cdot \ln n}$ — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

${\displaystyle \mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').}$

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции ${\displaystyle \Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda }$ оценивается лучше асимптотики сумм ${\displaystyle \Lambda }$, позволяет оценивать отношение ${\displaystyle {\frac {M(x)}{x}}}$ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку ${\displaystyle M(x)=o(x)}$.

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.