Теория представлений группы Галилея

Теория представлений группы Галилея — в нерелятивистской квантовой механике раскрывает глубокую роль массы и спина в свойствах группы симметрий пространства-времени. В релятивистской механике аналогичную роль играет классификация Вигнера.

В четырёхмерном пространстве-времени 3 + 1 (и, при очевидном обобщении, в пространстве-времени произвольной размерности n + 1) представление группы Галилея является представлением подгруппы аффинной группы (на пространстве-времени t, x, y, z), линейная часть которой оставляет инвариантной как метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }=diag(1,0,0,0)}$ (инвариантность временных интервалов относительно преобразований Галилея) так и (независимо) дуальную метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }=diag(0,1,1,1)}$ (инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея).

В этой статье рассматриваются проективные представления этой группы, которые эквивалентны унитарным представлениям^[англ.] нетривиального центрального расширения универсальной покрывающей группы группы Галилея одномерной группой Ли R (см. статью Галилеева группа для центрального расширения^[англ.] ее алгебры Ли). Для их изучения используется метод индуцированных представлений^[англ.].

Здесь рассматривается (центрально расширенная, Баргман) алгебра Ли, потому что ее проще анализировать, и мы всегда можем распространить результаты на полную группу Ли при помощи теоремы Фробениуса^[англ.].

${\displaystyle [E,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},E]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},E]=i\hbar P_{i}}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.}$

Здесь: E — генератор временных перемещений (гамильтониан), P_i — это генератор перемещений (оператор импульса), C_i — генератор галилеевых бустов, а L_ij — генератор вращений (оператор углового момента). Центральный заряд^[англ.] M является инвариантом Казимира.

Инвариант массовой поверхности

${\displaystyle ME-{P^{2} \over 2}}$

является дополнительным инвариантом Казимира.

В случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1 третьим инвариантом Казимира является W², где

${\displaystyle {\vec {W}}\equiv M{\vec {L}}+{\vec {P}}\times {\vec {C}}~,}$

до некоторой степени аналогичный псевдовектору Паули–Любанского^[англ.] релятивистской механики.

В более общем случае n-мерного пространства-времени n + 1 инварианты будут зависеть от

${\displaystyle W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}$

и

${\displaystyle W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,}$

а также от вышеуказанного инварианта массовой оболочки и центрального заряда.

Используя лемму Шура, в неприводимом унитарном представлении, можно показать, что все эти инварианты Казимира тождественно кратны. Назовем коэффициенты кратности m и mE₀ и (в случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1) w, соответственно. Вспоминая, что мы рассматриваем здесь унитарные представления, мы видим, что эти собственные значения должны быть вещественными числами.

Рассмотрим случаи m > 0, m = 0 и m < 0 (последний случай похож на первый). В случае четырёхмерного пространства-времени 3 + 1 когда инвариант в m > 0, для третьего инварианта мы можем написать, w = ms, где s представляет собой спин или внутренний угловой импульс. В более общем случае n-мерного пространства-времени n + 1 генераторы L и C будут связаны, соответственно, с общим моментом импульса и моментом центра масс, как

${\displaystyle W_{ij}=MS_{ij}}$

${\displaystyle L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.}$

С чисто теоретической точки зрения нужно было бы изучить все представления; но в этой статье нас интересуют только приложения к квантовой механике. Там E представляет энергию, которая должна быть ограничена снизу из соображений термодинамической стабильности. Рассмотрим сначала случай, когда m не равно нулю.

В пространстве (E, ${\displaystyle {\vec {P}}}$) рассмотрим гиперповерхность, задаваемую уравнением

${\displaystyle mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,}$

мы видим, что галилеевы бусты действуют транзитивно на этой гиперповерхности. Фактически, рассматривая энергию E как гамильтониан, дифференцируя по P и применяя уравнения Гамильтона, мы получаем соотношение между массой и скоростью ${\displaystyle m{\vec {v}}={\vec {P}}}$.

Гиперповерхность параметризуется этой скоростью In ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Рассмотрим стабилизатор точки на орбите (E₀, 0), где скорость равна 0. Из-за транзитивности мы знаем, что унитарное неприводимое представление содержит нетривиальное линейное подпространство с этими собственными значениями энергии-импульса. (Это подпространство существует только во вложенном гильбертовом пространстве^[англ.], потому что спектр импульса непрерывен.)

Подпространство охватывает E, ${\displaystyle {\vec {P}}}$, M и L_ij. Мы уже знаем, как подпространство неприводимых представлений преобразуется при всех операторах, кроме углового момента. Обратите внимание, что подгруппа вращения — это Spin(3). Мы должны рассматривать её двойную накрывающую группу^[англ.], потому что мы рассматриваем проективные представления. Она называется малой группой, по имени, данному Юджином Вигнером. Его метод индуцированных представлений^[англ.] указывает, что неприводимое представление задается прямой суммой всех волокон в векторном расслоении над гиперповерхностью mE = mE₀ + P²/2 волокна которой представляют собой унитарное неприводимое представление Spin(3).

Spin(3) — это не что иное, как SU(2). (См. теорию представлений SU(2)^[англ.], где показано, что унитарные неприводимые представления SU(2) различаются неотрицательным рациональным числом s, кратным половине. По историческим причинам это число было названо спином.)

• Следовательно, для ${\displaystyle m\neq 0}$ унитарные неприводимые представления классифицируются по массе m, энергии E₀ и спину s.
• Если масса m отрицательна, то спектр энергий E не ограничен снизу. Следовательно, только случай с положительной массой является допустимым по физическим соображениям.
• Теперь рассмотрим случай, m = 0. Вследствие унитарности, выражение :${\displaystyle mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \over 2}}$ является неположительным. Предположим, что оно равна нулю. Здесь это также бусты, а также ротации, которые составляют малую группу. Любое унитарное неприводимое представление этой малой группы также порождает проективное неприводимое представление галилеевой группы. По-видимому, только случай тривиального преобразования в рамках малой группы имеет физическую интерпретацию — он соответствует состоянию без частиц, вакууму.

Случай, когда инвариант отрицателен, требует дополнительного комментария. Это соответствует классу представления для m = 0 и ненулевого ${\displaystyle {\vec {P}}}$. Расширяя классификацию тардиона, люксона,тахиона от теории представлений группы Пуанкаре до аналогичной классификации, здесь можно назвать эти состояния синхронами. Они представляют собой мгновенную передачу ненулевого импульса на (возможно, большое) расстояние. С ними связан, по вышесказанному, «временной» оператор

${\displaystyle t=-{{\vec {P}}\cdot {\vec {C}} \over P^{2}}~,}$

который может быть идентифицирован со временем передачи. Эти состояния, естественно, интерпретируются как носители сил мгновенного действия на расстоянии.

В 3 + 1 — мерной группе Галилея генератор буста может быть разложен на

${\displaystyle {\vec {C}}={{\vec {W}}\times {\vec {P}} \over P^{2}}-{\vec {P}}t~,}$

с ${\displaystyle {\vec {W}}}$ играющим роль, аналогичную спиральности.

• Галилей-ковариантная тензорная формулировка^[англ.]
• Теория представлений группы Пуанкаре^[англ.]
• Классификация Вигнера
• Псевдовектор Паули–Любанского^[англ.]
• Теория представлений групп диффеоморфизмов^[англ.]
• Оператор вращения (квантовая механика)^[англ.]

• Bargmann, V. (1954). «On Unitary Ray Representations of Continuous Groups», Annals of Mathematics, Second Series, 59, No. 1 (Jan., 1954), pp. 1–46
• Levy-Leblond, Jean-Marc (1967), Nonrelativistic Particles and Wave Equations, Communications in Mathematical Physics, 6 (4), Springer: 286–311, Bibcode:1967CMaPh...6..286L, doi:10.1007/bf01646020.
• Ballentine, Leslie E. Quantum Mechanics, A Modern Development. — World Scientific Publishing Co Pte Ltd., 1998. — ISBN 981-02-4105-4.
• Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) ISBN 0486445291