Топологическая семантика

Эту статью предлагается удалить. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/12 августа 2024. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотивированного удаления содержания, подробнее см. руководство к дальнейшему действию. Не снимайте пометку о выставлении на удаление до подведения итога обсуждения. Последнее изменение сделано участником Sldst-bot (вклад · журналы) в 21:41, 5 января 2025 (UTC; около 176 дней назад). Администраторам и подводящим итоги: ссылки сюда история журналы удалить

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (21 февраля 2017)

Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, помогите улучшить статью, не удаляя технических деталей, чтобы она стала понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. (12 августа 2024)

Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространённой на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, топологической моделью называется пара ${\displaystyle M=(X,V)}$, где ${\displaystyle V}$ — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, ${\displaystyle V:Var\to 2^{X}}$, где ${\displaystyle Var}$ — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x}$ топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

${\displaystyle M,x\models p}$, если  ${\displaystyle x\in V(p)}$
${\displaystyle M,x\not \models \perp }$
${\displaystyle M,x\models \lnot A}$, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$
${\displaystyle M,x\models A\land B}$, если ${\displaystyle M,x\models A}$ и ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models A\lor B}$, если ${\displaystyle M,x\models A}$ или ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models A\to B}$, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$ или ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models \Box A}$, если существует окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$, такая что ${\displaystyle \forall y:(y\in U\Rightarrow M,y\models A)}$

Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической модели наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

${\displaystyle \Box p\to p}$
${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Пусть ${\displaystyle F=(W,R)}$ - шкала Крипке, такая что ${\displaystyle R}$ - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.${\displaystyle F}$ является предпорядком). На шкале ${\displaystyle F}$ можно естественным образом определить топологическое пространство ${\displaystyle Top(F)}$. Базой топологии этого пространства являются множества вида

${\displaystyle R(x)=\{y\;|\;xRy\}}$.

Другими словами, в ${\displaystyle Top(F)}$ открытыми считаются все такие множества ${\displaystyle U\subseteq W}$ для которых верно, что

${\displaystyle x\in U\land xRy\Rightarrow y\in U}$.

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что

${\displaystyle F,V,x\models A\iff Top(F),V,x\models A}$