Тороидальный многогранник

Тороидальный многогранник — это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше.

Варианты определения

Тороидальные многогранники определяются как набор многоугольников, которые имеют общие вершины и рёбра, образуя многообразие. То есть, каждое ребро должно быть общим в точности для двух многоугольников, вершинная фигура каждой вершины должна быть одним циклом из многоугольников, которым данная вершина принадлежит. Для тороидальных многогранников это многообразие будет ориентированной поверхностью^[1]. Некоторые авторы ограничивают понятие «тороидальный многогранник» до многогранников, топологически эквивалентных (рода 1) тору^[2].

Здесь следует различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими не пересекающими друг друга многоугольниками в трёхмерном евклидовом пространстве, от абстрактных многогранников^[англ.], топологических поверхностей без определённой геометрической реализации^[3]. Серединой между этими двумя крайностями можно считать погружённые тороидальные многогранники, то есть многогранники, образованные многоугольниками или звёздчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальная природа многогранников может быть проверена ориентированностью и эйлеровой характеристикой, которая для этих многогранников не положительна.

Многогранники Часара и Силаши

Многогранники Часара и Силаши

Многогранник Часара	Многогранник Силаши

Два самых простых возможных вложенных тороидальных многогранника — это многогранники Часара и Силаши.

Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранями^[4]. Только этот многогранник и тетраэдр (из известных) обладают свойством, что любой отрезок, соединяющий вершины многогранника является ребром многогранника^[5]. Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другу^[6], обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семи^[7].

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней.

Тороиды Стюарта

Тороиды Стюарта

Шесть шестиугольных призм	Четыре квадратных купола 8 тетраэдров	Восемь октаэдров

Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно с помощью правильных многоугольных граней без их пересечения с дополнительным ограничением, что смежные грани не лежат в одной плоскости. Эти многогранники называются тороидами Стюарта^[8] по имени профессора Бонни Стюарта^[англ.], который исследовал их существование^[9]. Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников, но, в отличие от них, существует бесконечно много тороидов Стюарта^[10]. Эти многогранники включают также торотоидальные дельтаэдры, многогранники, грани которых являются равносторонними треугольниками.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определённых Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают все рёбра их выпуклых оболочек. У этих многогранников каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, рёбра которого лежат на поверхности тороида^[11].

Погружённые многогранники

Октагемиоктаэдр^[англ.]	Малый кубооктаэдр^[англ.]	Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников в пространстве — это многогранное погружение абстрактного топологического многообразия, образованного его многоугольниками и его системой рёбер и вершин. Примеры включают октагемиоктаэдр^[англ.] (род 1), малый кубооктаэдр^[англ.] (род 3) и большой додекаэдр (род 4).

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную диэдральную симметрию и имеет те же самые вершины, что и однородная пятиугольная призма.

Корончатый многогранник (или стефаноид) — это тороидальный многогранник, который является благородным^[англ.] многогранником, будучи как изогональным (одинаковые типы вершин), так и изоэдральным (одинаковые грани). Корончатый многогранник является самопересекающимся и топологически самодвойственным^[12].

См. также

Примечания

↑ Whiteley (1979); Stewart (1980), стр. 15.
↑ Webber, 1997, с. 31—44.
↑ Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.
↑ Császár, 1949, с. 140—142.
↑ Ziegler, 2008, с. 191—213.
↑ Szilassi, 1986, с. 69—80.
↑ Heawood, 1890, с. 322—339.
↑ Webb, 2000, с. 231—268.
↑ Stewart, 1980.
↑ Stewart, 1980, с. 15.
↑ Stewart (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
↑ Grünbaum, 1994, с. 43—70.

Литература

Branko Grünbaum. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. — Kluwer Academic Publishers, 1994. — Т. 440. — (NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series). — doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3.. См., в частности, стр. 60.
Robert Webb. Stella: polyhedron navigator // Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11, вып. 1—4.
B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces. — 2nd. — B. M. Stewart, 1980. — ISBN 978-0-686-11936-4.
Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13. (недоступная ссылка)
P. J. Heawood. Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Т. 24.
A. Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13.
Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — ISBN 978-3-7643-8620-7. — doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10. — arXiv:math.MG/0412093.
Walter Whiteley. Realizability of polyhedra // Structural Topology. — 1979. — Вып. 1.
William T. Webber. Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids // Geometriae Dedicata. — 1997. — Т. 67, вып. 1. — doi:10.1023/A:1004997029852.