Точка Аполлония

Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония ${\displaystyle Ap}$^[1][2].

• Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

• Дан треугольник ${\displaystyle ABC.}$ Пусть вневписанные окружности треугольника ${\displaystyle ABC,}$ противоположные вершинам ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C,}$ есть соответственно ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B},}$ ${\displaystyle E_{C}}$ (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония ${\displaystyle E}$ (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ${\displaystyle ABC}$ в точках соответственно ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}}$ (см. рисунок)^[3].

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность ${\displaystyle E,}$ касающаяся трех данных окружностей ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}}$ внешним образом.

Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}},}$ где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности и ${\displaystyle s}$ — полупериметр треугольника^[4].

• Точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle A',}$ ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ есть точки касания окружности Аполлония ${\displaystyle E}$ с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые ${\displaystyle AA',}$ ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle Ap,}$ которую называют точкой Аполлония треугольника ${\displaystyle ABC.}$

• Ее трилинейные координаты:

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}=}$

${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).}$

На рисунке указанная точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ${\displaystyle ABC,}$ опущенных из точек касаний ${\displaystyle A',}$ ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ${\displaystyle ABC,}$ образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей ${\displaystyle E_{A},}$ ${\displaystyle E_{B}}$ и ${\displaystyle E_{C}.}$ Хотя эта точка ${\displaystyle Ap}$ лежит в точке пересечения трех отрезков ${\displaystyle AA',}$ ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC',}$ но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония ${\displaystyle Ap}$ совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

• Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.

• Точки Аполлония