Универсальность Фейгенбаума

Универсальность Фейгенбаума, или универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера, — эффект в теории бифуркаций, заключающийся в том, что определённые числовые характеристики каскада бифуркаций удвоения периодов в однопараметрическом семействе унимодальных отображений при переходе от регулярного поведения к хаотическому оказываются не зависящими от выбора конкретного семейства (и, тем самым, являются универсальными константами). Такими характеристиками оказываются, в частности, предел отношений соседних отрезков параметров между двумя бифуркациями удвоения периода (названный постоянной Фейгенбаума ${\displaystyle \delta }$) и хаусдорфова размерность аттрактора в конечной точке каскада.

Эффект был открыт в численных экспериментах М. Фейгенбаумом и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессером; как Фейгенбаум, так и Кулле и Трессер предложили объяснение этого эффекта через описание поведения оператора ренормализации. Обоснование такого поведения в случае унимодальных отображений было сначала получено в (строгой, но опирающемся на проведённые с помощью компьютера выкладки) работе О. Лэнфорда, а затем в использующих комплексную технику работах Д. Салливана, К. МакМюллена^[англ.] и М. Любича.

Универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера — эффект, который был открыт при изучении перехода от регулярного поведения к хаотичному в однопараметрических семействах унимодальных отображений^[англ.], в частности, при исследовании семейства логистических отображений

${\displaystyle f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)}$

и семейства

${\displaystyle g_{\mu }:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.}$

А именно, в логистическом семействе отображений, при малых ${\displaystyle \lambda }$ аттрактором отображения оказывается единственная притягивающая неподвижная точка. При ${\displaystyle \lambda _{1}=3}$ происходит первая бифуркация удвоения периода, в результате которой неподвижная точка теряет устойчивость, и вместо неё аттрактором становится возникающая в этот момент притягивающая периодическая орбита периода 2. Эта орбита остаётся устойчивой при дальнейшем увеличении параметра вплоть до ${\displaystyle \lambda _{2}\approx 3{,}449}$, после чего происходит следующая бифуркация удвоения периода, и аттрактором становится рождающаяся при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{2}}$ периодическая орбита периода 4. В свою очередь, эта орбита при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{3}\approx 3{,}544}$ теряет устойчивость, и аттрактором становится рождающаяся орбита периода 8, и так далее.

Эти значения накапливаются к некоторому значению ${\displaystyle \lambda _{*}=\lim _{n}\lambda _{n}}$ — концевой точке каскада бифуркаций. Выполняя численные эксперименты, Фейгенбаум обнаружил, что их накопление асимптотически выглядит как геометрическая прогрессия:

${\displaystyle \lambda _{*}-\lambda _{n}\sim C\delta ^{-n}.}$

Подобный сценарий перехода от регулярного поведения к хаотичному через каскад бифуркаций удвоения периода имеет место для любого семейства унимодальных отображений с отрицательной производной Шварца; поставив эксперименты для другого однопараметрического семейства унимодальных отображений, ${\displaystyle g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,}$ Фейгенбаум обнаружил^[1], что в этом случае моменты бифуркации ${\displaystyle \mu _{n}}$ накапливаются к предельному ${\displaystyle \mu _{*}}$ асимптотически как геометрическая прогрессия,

${\displaystyle \mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},}$

причём с тем же, что и для логистического семейства, знаменателем ${\displaystyle \delta ^{-1}}$. В связи с этим, он высказал гипотезу, что подобное поведение моментов бифуркации универсально — не зависит от выбора конкретного однопараметрического семейства; константа ${\displaystyle \delta \approx 4{,}669...}$ получила название постоянной Фейгенбаума.

Этот раздел нужно дополнить. Пожалуйста, улучшите и дополните раздел. (26 марта 2014)

Обоснование эффекта универсальности опирается на описание динамики преобразования ренормализации ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ на пространстве унимодальных отображений интервала ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в себя. А именно, при определенных условиях на унимодальное отображение f можно выделить интервал, который за две итерации отображается в себя, и отображение первого возвращения на который также будет унимодальным. Линейная смена масштаба после этого позволяет рассмотреть отображение первого возвращения опять как отображение исходного интервала ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в себя; такое преобразование, сопоставляющее исходному отображению проитерированное со сменой масштаба, и называется ренормализацией.

Предложенное Фейгенбаумом и Кулле — Трессером объяснение эффекта универсальности основывалось на том, что у преобразования ренормализации есть единственная неподвижная точка ${\displaystyle g}$, тем самым, удовлетворяющая уравнению Фейгенбаума — Цитановича

${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — константа перемасштабирования.

Эта неподвижная точка гиперболична, причём её неустойчивое многообразие одномерно, и пересекает поверхность в пространстве отображений, отвечающую бифуркации удвоения периода. Напротив того, устойчивое многообразие этой точки имеет коразмерность один (в бесконечномерном пространстве унимодальных отображений), и типичное однопараметрическое семейство отображений — в частности, квадратичное семейство — его трансверсально пересекает.

Тогда, асимптотическая скорость, с которой моменты бифуркаций удвоения периода ${\displaystyle \lambda _{n}}$ приближаются ${\displaystyle \lambda _{*}}$ к предельному — экспоненциальная, со знаменателем, обратным большему 1 собственному значению линеаризации ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ в точке ${\displaystyle g}$. В частности, отсюда следует явление универсальности: эта скорость определяется большим 1 собственным значением, и не зависит от выбора индивидуального семейства.

Этот раздел нужно дополнить. Пожалуйста, улучшите и дополните раздел. (26 марта 2014)

В 1976 г. вышла работа Р. М. Мэя, исходной точкой которой служили вопросы популяционной динамики; в качестве математической модели рассматривались динамические системы на отрезке, соответствующие нескольким различным унимодальным отображениям, в том числе логистическому. Она мотивировала интерес к исследованию таких отображений и бифуркаций в их однопараметрических семействах, и в 1978 году М. Фейгенбаум и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессер обнаруживают в численных экспериментах эффект универсальности, и предлагают его объяснение через описание динамики оператора ренормализации.

Вскоре, в 1984 году, О. Лэнфорд строго доказывает данное свойство, однако его доказательство в существенной степени опирается на проведённые компьютерные вычисления.

Этот раздел нужно дополнить. Пожалуйста, улучшите и дополните раздел. (26 марта 2014)

• Universal behaviour in dynamical systems, Springer Encyclopaedia of Mathematics.
• Аннотация курса М. Ямпольского
• Weisstein, Eric W. Feigenbaum Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Видеозапись доклада А. Авила на Международном конгрессе математиков, Хайдарабад, 2010.

• R. M. May, Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261 (1976), 459—467.
• P. Coullet, C. Tresser, Itérations d’endomorphismes et groupe de rénormalisation, Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), pp. 25–28.
• C. Tresser and P. Coullet, Iterations d’endomorphismes et groupe de renormalisation, C. R. Acad. Sci. Paris 287A (1978), pp. 577–580.
• M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.
• M. J. Ferigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 21 (1979), 669—706.
• O. E. Lanford III, A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures, Bull. AMS. 6:3 (1984), pp. 427–434
• J.-P. Eckmann The Mechanism of Feigenbaum Universality, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986.
• M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser Universality and Milnor’s Hairiness Conjecture, Annals of Mathematics, 149 (1999), pp. 319–420.
• J. Milnor, Self-similarity and hairiness in the Mandelbrot set, in Computers in Geometry and Topology, Lect. Notes in Pure and Appl Math. 114 (1989), 211—257
• Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин, Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм, УМН, 39:3 (237) (1984), 3-37.
• В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 2-е.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить статью по правилам. Добавить иллюстрации. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.