Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Определение

Пусть $F$ — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение $\leqslant$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

Рефлексивность: $x\leqslant x$ .
Транзитивность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant z$ , то $x\leqslant z$ .
Антисимметричность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant x$ , то $x=y$ .
Линейность: все элементы $F$ сравнимы между собой, то есть либо $x\leqslant y$ , либо $y\leqslant x$ .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

Если $x\leqslant y$ , то для любого z: $x+z\leqslant y+z$ .
Если $0\leqslant x$ и $0\leqslant y$ , то $0\leqslant xy$ .

Если все 6 аксиом выполнены, то поле $F$ называется упорядоченным.

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно:

x\geqslant y

означает, что

y\leqslant x

.

Отношение больше:

x>y

означает, что

x\geqslant y

и

x\neq y

.

Отношение меньше:

x<y

означает, что

y>x

.

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину $|x|$ элемента $x$ как $max(x,-x)$ .

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества $P$ , ноль и $-P$ не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим $P_{0}=P\cup \{0\}$ (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

x\leqslant y

, если

y-x\in P_{0}

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Свойства

Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если $x$ положителен, то $-x$ отрицателен, и наоборот.
В любом упорядоченном поле $1>0$ и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
Однотипные неравенства можно складывать:

Если

x\leqslant y

и

x'\leqslant y'

, то

x+x'\leqslant y+y'

.

Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если

x\leqslant y

и

c\geqslant 0

, то

cx\leqslant cy

.

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида $a+b{\sqrt {2}}$ , где $a,b$ — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» $P$ те числа $a+b{\sqrt {2}}$ , для которых $a>b{\sqrt {2}}$ . Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены^[1].

Место в иерархии алгебраических структур

Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
- В частности, конечное поле не допускает порядка.
Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда оно вещественно, то есть $-1$ не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым^[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел $\mathbb {R}$ ; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей $\mathbb {R}$ .
Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

Примеры

Рациональные числа
Вещественные числа
Вещественные алгебраические числа
Любое вещественно замкнутое поле
Поле вещественных рациональных функций: ${\frac {p(x)}{q(x)}}$ ${\frac {p(x)}{q(x)}}$ , где $p(x),q(x)$ $p(x),q(x)$ — многочлены, $q(x)\neq 0$ $q(x)\neq 0$ . Упорядочим его следующим образом.
- Пусть $p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m}.$ Будем считать, что функция ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0$ , если ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0$ . Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
- Из определения вытекает, что многочлен $p(x)=x$ больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) $r(x)$ , для которых^[3] $r(\pi )>0$ .
Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле $\mathbb {Q} [\theta ]$ , порождённое добавлением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ числа $\theta$ — одного из комплексных корней многочлена $x^{3}-2$ . Данное поле изоморфно вещественному полю $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]$ , поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок^[3]