Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.
В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость
. Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:
.
Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть
, уравнение приобретает вид:
.
В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.
Если
вещественно и не равно
, уравнение сводится к случаю
: для
нужно сначала сделать замену
,
, и для любого знака
:
,
.
Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при
) нужно сделать замену функции:
.
При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:
![{\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial }{\partial x}}\ln {\Bigl \{}(4\pi t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4t}}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'{\Bigr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a08ea0427d4f8ab3dd59c4dd270a646b57f9542)
См. также
Литература
Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.[1]
Примечания
Ссылки
 |
---|
Виды уравнений | |
---|
Типы уравнений | |
---|
Краевые условия | |
---|
Уравнения математической физики | |
---|
Методы решения |  |
---|
Сеточные методы | Конечноэлементные методы | |
---|
Другие методы | |
---|
|
---|
Не сеточные методы | |
---|
|
---|
Исследование уравнений | |
---|
Связанные темы | |
---|