Уравнение Лондонов

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами^[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном^[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля^[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

${\displaystyle {\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — плотность тока, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — магнитная индукция, ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi nq^{2}}}}$, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

При помощи уравнения Максвелла ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}}$ можно записать уравнение Лондона в виде^[4]

${\displaystyle \mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} '=0,}$

где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера — Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт

${\displaystyle \mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {B} =0.}$

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими ${\displaystyle \lambda }$, есть

${\displaystyle \mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda }},}$

где ${\displaystyle \mathbf {B} (\xi )}$ — индукция на глубине ${\displaystyle \xi }$ под поверхностью. Параметр ${\displaystyle \lambda }$ имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину ${\displaystyle \lambda }$. Для металлов ${\displaystyle \lambda \sim 10^{-2}}$ мкм.

Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} }$, где ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B} }$, используя калибровку ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} =0}$ и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

${\displaystyle {\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.}$

В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\sum \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)}$.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

${\displaystyle {\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} \right)=0.}$

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом ${\displaystyle \mathbf {P} =0}$. При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид

${\displaystyle nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,}$

где ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \mathbf {v} }$, ${\displaystyle m}$ — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно${\displaystyle \mathbf {j} =ne\mathbf {v} }$, получим первое уравнение Лондонов:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.}$

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

${\displaystyle \mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2},}$

где ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.}$

Также объёмная плотность магнитной энергии равна ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{8\pi }}}$, тогда свободная энергия может быть записана в виде (${\displaystyle F_{0}}$ — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:

${\displaystyle F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \mathbf {H} )^{2}]\,dV.}$

Первая вариация по полю равна

${\displaystyle \delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {rot} \mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname {div} [\operatorname {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.}$

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

${\displaystyle \mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} =0,}$

что вместе с выражением для векторного потенциала ${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2}}}\mathbf {A} }$, первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=0}$, ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {n} =0}$ даёт искомое уравнение:

${\displaystyle {\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.}$

• Уравнение Пиппарда

• Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.