Уравнение Фишера (математика)

Уравнение Фишера (англ. Fisher's equation, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+aw(1-w).}$

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.^[1]

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция ${\displaystyle f(w)=aw(1-w)}$ моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.^[2]

Для скорости волны ${\displaystyle c\geq 2{\sqrt {a}}}$ уравнение допускает решения в виде бегущей волны ${\displaystyle w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)}$, причем ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }=0,\lim _{z\rightarrow +\infty }=1}$. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для ${\displaystyle c<2{\sqrt {a}}}$ таких решений не существует.^[1]

В случае скорости ${\displaystyle c=\pm {\frac {5}{\sqrt {6}}}}$ могут быть получены следующие точные решения:

${\displaystyle w(z)=\left[\pm 1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{-2},}$

${\displaystyle w(z)={\frac {1+2C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})}{\left[1+C\exp(\mp {\frac {z}{\sqrt {6}}})\right]^{2}}},}$

где ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.^[2]