Уравнения Цёппритца

Уравнения Цёппритца — уравнения, определяющие изменение амплитуд сейсмических волн на границах слоёв с различными сейсмическими свойствами. Карл Бернхард Цёппритц (1881–1908) — немецкий геофизик, который сформулировал уравнения, названные в его часть. Он работал в Гёттингенском университете ассистентом в исследовательской группе Эмиля Вихерта. Уравнения Цёппртитца связывают амплитуды Р– и S– волн на границе двух упругих сред с углом падения $\alpha _{1}$ волны на границу.

Точная формулировка

Матрица

${\begin{pmatrix}sin\alpha _{P1}&-cos\alpha _{S1}&sin\alpha _{P2}&cos\alpha _{S2}\\cos\alpha _{P1}&sin\alpha _{S1}&-cos\alpha _{P2}&sin\alpha _{S2}\\\gamma _{P1}\cdot cos2\alpha _{S1}&\gamma _{S1}\cdot sin2\alpha _{S1}&\gamma _{P2}\cdot cos2\alpha _{S2}&-\gamma _{S2}\cdot cos2\alpha _{S2}\\\gamma _{P1}\cdot cos2\alpha _{S1}&\gamma _{S1}\cdot sin2\alpha _{S1}&\gamma _{P2}\cdot cos2\alpha _{S2}&-\gamma _{S2}\cdot cos2\alpha _{S2}\\\end{pmatrix}}$

Неизвестные

Свободные члены

Приближение

Уравнения Цёппритца сложны в использовании, и поэтому чаще используются приближения, такие как уравнения Бортфельда^[1] (1961 год) и Шуей (1985 год). Шуей в^[2] приближении:

$R(\theta )=R_{0}+[A_{0}R_{0}+{\frac {\triangle \sigma }{(1-\sigma )^{2}}}]sin^{2}\theta +{\frac {1}{2}}{\frac {\triangle V_{p}}{V_{p}}}(tan^{2}\theta -sin^{2}\theta )$

где каждый элемент охватывает амплитуды отражения на больших углах. Первое слагаемое $R_{0}$ дает амплитуду при нормальном падении $(\theta =0)$ , второе слагаемое характеризует $R(\theta )$ на промежуточных углах, а третий член описывает подход к критическому углу. Здесь $\sigma$ это коэффициент Пуассона, $\theta$ — угол падения, и $A_{0}$ — медленно меняющаяся величина пропорциональная ${\frac {1-2\theta }{1-\theta }}$ . Это приближение было сделано с точностью до 60 градусов от критического угла, и оно предполагает, что изменение плотности и скоростей через границы много меньше 1.