Участник:Dmitry89/Формулы

Согласно Справочнику по высшей математике^[1]

${\displaystyle S=p\cdot r}$,

то легко можно получить:

${\displaystyle S={\frac {12\cdot a}{2}}\cdot r=6\cdot a\cdot r}$,

где (могу нарисовать векторный рисунок для викисклада, поясняющий это)

${\displaystyle r=a\cdot \sin 30^{\circ }+a\cdot \cos 30^{\circ }+{\frac {a}{2}}=(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}})\cdot a}$.

Откуда:

${\displaystyle S=6\cdot a\cdot r=6\cdot (1+{\frac {\sqrt {3}}{2}})\cdot a^{2}=3\cdot (2+{\sqrt {3}})\cdot a^{2}}$,

что мы и видим в статье первой формулой. Исходя из этих же соображений (выразим a через r) и получим:

${\displaystyle a={\frac {r}{(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}})}}=={\frac {2r}{(2+{\sqrt {3}})}}}$;

${\displaystyle S=6\cdot a\cdot r=6{\frac {2r}{(2+{\sqrt {3}})}}\cdot r={\frac {12\cdot r^{2}}{(2+{\sqrt {3}})}}}$,

избавляясь от иррациональности, получим:

${\displaystyle S={\frac {12\cdot r^{2}}{(2+{\sqrt {3}})}}\cdot {\frac {(2-{\sqrt {3}}}{(2-{\sqrt {3}})}}={\frac {12\cdot r^{2}\cdot (2-{\sqrt {3}})}{(4-3)}}=12\cdot (2-{\sqrt {3}})\cdot r^{2}}$,

что в статье представлено третьей формулой. Далее зная, что угол между линиями проведенными из центра в две соседних вершины 12-угольника равен y = 30 град, легко определимся, что линия радиуса вписанной окружности r, линия радиуса описанной окружности R и сторона фигуры, к которым эти линии проведены, образуют прямоугольный треугольник (рисунок тоже могу нарисовать), где r - катет, а R - гипотенуза, а угол между ними равен половине угла y, то

${\displaystyle r=R\cdot \cos 15^{\circ }}$.

Значение косинуса найдем из разницы косинусов:

${\displaystyle \cos(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos(45^{\circ })\cdot \cos(30^{\circ })+\sin(45^{\circ })\cdot \sin(30^{\circ })={\sqrt {2}}/2+{\sqrt {3}}/2+{\sqrt {2}}/2+1/2={\sqrt {6}}/4+{\sqrt {2}}/4={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$,

и подставим в итоговое решение:

${\displaystyle S=12\cdot (2-{\sqrt {3}})\cdot r^{2}=12\cdot (2-{\sqrt {3}})\cdot ({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\cdot R)^{2}={\frac {12\cdot (2-{\sqrt {3}})\cdot 4(2+{\sqrt {3}})}{16}}\cdot R^{2}=3\cdot R^{2}}$,

что мы видим во второй формуле.